BW HSS And Carbide Cutting Too: 2009年3月13日

2009年3月13日星期五

Deutsch Digitales Filter www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

Ein digitales Filter ist ein elektronisches Filter welches ähnliche Aufgaben wie ein analoges Filter zu erfüllen hat: Es dient der Manipulation eines Signals wie beispielsweise das Sperren oder Durchlassen eines bestimmten Frequenzbereiches. Der Unterschied zum analogen Filter liegt in der Realisierung: Analoge Filter werden mit passiven elektronischen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen, Widerständen oder aktiv mit Operationsverstärkern aufgebaut. Digitale Filter werden mit Logikbausteinen wie ASICs, FPGAs oder in Form eines sequentiellen Programmes mit einem Signalprozessor realisiert.

Als weiteres wesentliches Merkmal verarbeiten digitale Filter keine kontinuierlichen Signale, sondern ausschließlich zeit- und wertdiskrete Signale. Ein zeitdiskretes Signal besteht in der zeitlich periodischen Abfolge nur aus einzelnen Impulsen, welche den Signalverlauf über die Zeit darstellen, den jeweiligen Abtastwerten. Der Abtastwert ist wertdiskret, da die digitale Zahlendarstellung nur eine endliche Auflösung bietet.

Das Filterverhalten von digitalen Filtern ist leichter zu reproduzieren. Auch lassen sich bestimmte Filtertypen, wie die so genannten FIR-Filter nur als digitales Filter und nicht als eine analoge Filterschaltung realisieren. Digitale Filter in Kombination mit Analog-Digital-Umsetzern und Digital-Analog-Umsetzern ersetzen auch zunehmend bisher rein analog realisierte Filterstrukturen. Digitale Filter stellen die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung dar und finden beispielsweise Anwendung in der Kommunikationstechnologie.

Kontinuierliche Filterübertragungsfunktionen und daraus gebildete analoge Filter wie Butterworthfilter, Besselfilter, Tschebyschefffilter oder elliptische Filter lassen sich nach Anpassung der Filterübertragungsfunktion an das endliche, diskrete Spektrum in Form von digitalen IIR-Filtern mit geeignet gewählten Filterkoeffizienten nachbilden.

Mathematische Definition [Bearbeiten]

Ein abstraktes digitales Filter ist ein Operator, der zeitdiskreten digitalen Signalen wieder ebensolche zuordnet. Oft wird zur Vereinfachung der Beschreibung angenommen, dass das Signal reelle Zahlen als Werte hat, d. h. die Quantisierung der Abtastwerte (d. h. das Runden auf einen der endlich vielen Werte der Bitdarstellung) des digitalen Signals wird nicht berücksichtigt. Ein zeitdiskretes Signal x ist eine Abbildung, die jedem Punkt der diskreten, äquidistanten Menge

$\Gamma = \{t_n:=t_0+n \Delta t, n\in \Z \}$

eine Zahl zuordnet. Es kann auch durch die Folge seiner Funktionswerte

x[n] = x_n: = x(t_n)

angegeben werden. Die Notation mit eckigen Klammern wird in der Informatik der mit Index in der Mathematik vorgezogen.

Die grundlegende Funktionsweise einer (endlichen, nichtrekursiven) Filteroperation ist die folgende: Zu jedem Zeitpunkt, bzw. Punkt aus dem Gitter, wird eine Umgebung aus naheliegenden Zeitpunkten fixiert, z. B. je zwei Punkte vorher und nachher. Die Form dieser Umgebung ist dabei über die Zeit konstant. Enthält die Umgebung nur zeitlich vorhergehende Punkte, so wird das Filter kausal genannt.

Jetzt liegt zu jedem Zeitpunkt das Tupel der Werte in seiner Umgebung vor. Auf dieses Tupel wird immer eine gleiche Funktion angewendet, z. B. Maximumsbildung, Mittelwertbildung, gewichtete Mittelwerte,… Ist diese Funktion linear, so wird das Filter linear genannt, sonst nichtlinear.

Betrachtet man eine Familie von Signalen, die sich durch Zeitverschiebung auseinander ergeben, und erzeugt die Familie der durch das Filter transformierten Signale, so unterscheiden sich die gefilterten Signale durch exakt dieselbe Zeitverschiebung untereinander. Das Filter ist zeitinvariant. Signaltransformationen mit diesen Eigenschaften werden auch als LTI-Systeme bezeichnet, englisch für Linear Time Invariant. Betrachtet man das diskrete Signal als Koeffizientenfolge einer Fourier-Reihenentwicklung, d. h. die Signalwerte als Fourier-Integrale $x_n=\int_{-1/2}^{1/2}\;f(s)\cdot e^{i2\pi sn}\,ds$ , so vermag ein LTI-System die Amplituden |f(s)| der einzelnen Frequenzen zu verändern, und gegenüber dem Eingangssignal in der Phase arg(f(s)) zu drehen.

Faltungsoperatoren als LTI-Systeme [Bearbeiten]

Ein Faltungsoperator ist über eine Folge f von Koeffizienten gegeben, welche per Faltung auf das diskrete Signal x wirkt:

$x\mapsto y:=f*x$ , $y_n=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k\cdot x_{n-k}$

Diese Summe ist in folgenden Fällen wohldefiniert:

x ist beliebig und f ist als Folge endlich, so dass die Summe endlich ist,
x ist beschränkt, und f ist absolut summierbar, => y ist beschränkt,
x ist "quadratsummierbar" und f hat eine beschränkte Frequenzantwort, => y ist "quadratsummierbar".
x ist absolut summierbar und f ist absolut summierbar => y ist absolut summierbar.

Dabei heißt

x beschränkt, falls -K <>n <> für ein K und alle n∈ℤ,
x „quadratsummierbar“, wenn die Reihe der Betragsquadrate konvergiert
$E(x):=\|x\|_2^2:=\sum_{n=-\infty}^\infty |x_n|^2<\infty$ ,
f endlich, wenn es eine endliche Teilmenge I von ℤ gibt, so dass f_n≠0 nur für n∈I gilt,
f absolut summierbar, falls die Reihe der Beträge konvergiert
$\|f\|_1:=\sum_{n=-\infty}^\infty |f_n|<\infty$ ,
f von beschränkter Frequenzantwort, wenn die Fourier-Reihe zu f
$\hat f(\xi):=\sum_{k=-\infty}^\infty f_ke^{-ik\xi}$
fast überall konvergiert und (essentiell) beschränkt ist.

Wie man sich überlegt, ist die Impulsantwort des Faltungsoperators in allen diesen Fällen die Folge f.

Für ein endliches Filter nennt man die Menge I auch Träger, die Differenz zwischen Anfangs- und Endpunkt des Trägers wird Länge des Filters genannt. Die Elemente des Trägers werden häufig als Taps bezeichnet, ihre Anzahl ist um Eins höher als die Länge des Signals. Nur dieser erste, endliche Fall entspricht dem in der Einleitung geschilderten. Die Menge I definiert die Umgebung, welche zur Bestimmung der gefilterten Werte herangezogen wird, die Glieder von f definieren eine lineare Funktion der Werte dieser Umgebung.

Die absolut summierbaren Filterfolgen f des zweiten Falls haben nicht nur eine beschränkte, sondern sogar eine stetige Frequenzantwort. Diese gibt die Amplitudenänderung für die Elementarschwingungen e(ω)=(e_n(ω):n∈ℤ) mit e_n(ω):=exp(inω)=cos(nω)+i sin(nω) an. Diese sind beschränkt, deshalb ist f*e(ω) definiert und

$[f*e(\omega)]_n=\sum f_k e_{n-k}(\omega)=e_n(\omega)\sum f_ke^{-ik\omega}=\hat f(\omega) e_n(\omega)$ .

Ideale frequenzselektive Filter nehmen in ihrer Frequenzantwort nur die Werte 0 und 1 an. Die auftretenden Sprünge lassen sich nur schwer mit den stetigen Frequenzantworten absolut summierbarer und noch schlechter mit den polynomialen Frequenzantworten endlicher Filter approximieren.

Für die Fourier-Reihen, welche nur im dritten Fall alle existieren (als L²-Funktionen), gilt die Beziehung:

$\hat y(\xi)=\hat f(\xi)\cdot \hat x(\xi)$ .

Die Quadratsumme E(x) wird auch als "Energie" des Signals bezeichnet. Aufgrund der Parseval-Identität

$\|x\|_2^2=\frac1{2\pi}\|\hat x\|_2^2:=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|\hat x(\xi)|^2\,d\xi$

kann mittels frequenzselektiver Filter eine orthogonale Zerlegung des Signals erreicht werden.

Endliche Spezialfälle [Bearbeiten]

Hat der Träger des Filters f endliche Länge, so wird das Filter als FIR-System bezeichnet, FIR für endliche Impulsantwort (engl. Finite Impulse Response). Diese Filter werden auch als nicht-rekursiv bzw. rückkopplungsfrei implementierbar bezeichnet

Hat der Träger des Filters f keine endliche Länge, so wird das Filter als IIR-System bezeichnet, IIR für unendliche Impulsantwort (engl. Infinite Impulse Response). Unter diesen gibt es eine Klasse von Filtern f, die als rekursiv bzw. mit Rückkopplung implementierbar bezeichnet werden, die sich als Quotient endlicher Filter darstellen lassen, d. h. es gibt zwei endliche Folgen a und b, so dass im Faltungsprodukt a*f=b gilt. Nur solche unendlichen Filter lassen sich überhaupt exakt implementieren.

Implementierungen [Bearbeiten]

Software-Implementierung: Es können digitale Filter mit vielen Taps berechnet werden, an die keine Echtzeitanforderungen gestellt werden (z. B. in Sound-Editoren für Computer). Realisierungsmöglichkeiten sind: spezialisierte Signalprozessoren, Microcontroller, Mikroprozessoren.

Hardware-Implementierung: Es können digitale Filter mit Echtzeitanforderungen (z. B. in der Mobilfunktechnik, als Kanalfilter, Interpolationsfilter für digitales Fernsehen, …) aber mit weniger Taps als in Software-Implementierungen erstellt werden. Realisierungsmöglichkeiten: FPGAs, CPLDs oder Spezialbausteine.

Vor- und Nachteile von Digitalfiltern [Bearbeiten]

Digitale Filter spielen eine große Rolle in der Kommunikationstechnik. Sie haben gegenüber analogen Filtern den wichtigen Vorzug, ihre technischen Daten jederzeit exakt einzuhalten.

Vorteile [Bearbeiten]

keine Schwankungen durch Toleranz der Bauteile
keine Alterung der Bauteile
kein manueller Abgleich in der Fertigung notwendig, daher raschere Endprüfung von Geräten
mögliche Filterfunktionen, die mit Analogfiltern nur schwer oder gar nicht realisierbar sind, beispielsweise Filter mit linearer Phase.

Nachteile digitaler Filter [Bearbeiten]

begrenzter Frequenzbereich (durch periodische Fortsetzung des Spektrums)
begrenzter Wertebereich (durch Wertequantisierung)
durch interne Rundungs-, Abschneide- und Begrenzungsoperationen zur Wortlängenbegrenzung weisen digitale Filter in der Praxis "Quantisierungsrauschen" und andere nichtlineare Effekte auf, die sich vor allem in rekursiven Filtern höherer Ordnung bemerkbar machen und eine feinere Quantisierung, Nutzung von Gleitkommazahlen, angepassten Filterstrukturen wie den Einsatz von Wellendigitalfiltern erfordern können.

Klassifikation von digitalen Filtern [Bearbeiten]

Frequenzlineare Filter: [Bearbeiten]

Anhand des Aufbaus lassen sich zwei Klassen von digitalen Filtern unterscheiden:

Nicht-rekursive Filter - Filter ohne Rückkopplung
Rekursive Filter - Filter mit Rückkopplung

Eine zweite Unterscheidung lässt sich anhand der Impulsantwort treffen:

FIR-Filter (Finite Impulse Response) - Filter mit endlich langer Impulsantwort. FIR-Filter beinhalten meistens nur nicht-rekursive Elemente. Es gibt aber auch spezielle FIR-Filterstrukturen mit Rückkopplungen, ein Beispiel dafür sind CIC-Filter.
IIR-Filter (Infinite Impulse Response) - Filter mit unendlich langer Impulsantwort.

FIR-Filter sind immer stabil, auch jene mit rekursiven Elementen. Dies liegt darin begründet, dass die nichtrekursiven Formen nur Nullstellen und triviale Polstellen im Ursprung in der Übertragungsfunktion aufweisen. Und die nichttrivialen Polstellen bei rekursiven Formen der FIR-Filter immer am Einheitskreis liegen. Nullstellen unterliegen bezüglich des Stabilitätskriteriums keiner Beschränkung in ihrer Lage im Pol-Nullstellen-Diagramm. Liegen sie alle innerhalb des Einheitskreises, so spricht man von einem minimalphasigen System, liegt mindestens eine außerhalb, so handelt es sich um ein nicht-minimalphasiges System. Beim Entwurf eines FIR-Filters wird in den meisten Fällen eine Fensterung der Impulsantwort vorgenommen, um den Gibbs-Effekt zu verringern.

IIR-Filter sind nur dann stabil, wenn alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Liegen einfache Polstellen auf dem Einheitskreis, so ist das System bedingt stabil, d. h. in Abhängigkeit vom Eingangssignal. Sobald zwei oder mehr Polstellen auf demselben Punkt des Einheitskreises oder auch nur eine Polstelle außerhalb des Einheitskreises liegt, liegt ein instabiles Filter vor.

Der Vorteil von IIR Filtern liegt darin, dass sie in der Übertragungsfunktion neben den Nullstellen auch Polstellen aufweisen und damit höhere Filtergüten ermöglichen. Die Berechnung eines IIR-Filters ist gegenüber der eines FIR-Filters aufwändiger und sollte auch eine Stabilitätsuntersuchung der quantisierten Koeffizienten umfassen. Eine zuverlässige Methode zur Koeffizientenbestimmung eines IIR-Filters bietet die Methode nach Prony.

Praktisch durchgeführt werden die Koeffizientenbestimmung mit Programmen wie MATLAB.

Frequenzverzerrte Filter [Bearbeiten]

(basieren auf der Tiefpass-Tiefpass-Transformation)

Eine Unterscheidung dieser Filter ist anhand der Impulsantwort nicht mehr möglich.

WFIR-Filter warped FIR - sind stabil. Diese Filter basieren auf einem FIR-Filter, welches aber frequenzverzerrt ist. Sie besitzen immer eine unendliche Impulsantwort.
WIIR-Filter warped IIR - sind ebenfalls nur dann stabil, wenn alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Auch sie gehören zu den frequenzverzerrten Filtern. Sie lassen sich nicht direkt realisieren, da ein Koeffizientenmapping erforderlich ist, um verzögerungsfreie Schleifen zu entfernen.

Multiratenfilter [Bearbeiten]

Sie dienen der Konvertierung zwischen verschiedenen Abtastraten und vermeiden das Auftreten von Spiegelspektren bzw. Aliasing. Beispiele von Multiratenfilter sind CIC-Filter.

Siehe auch [Bearbeiten]

Filter (Elektronik), Filterfunktion, Hochpassfilter, Tiefpassfilter, Bandpass, Kalman-Filter, Fourieranalyse, FFT, Wavelet, ARMA, Wellendigitalfilter, Matched Filter

Weblinks [Bearbeiten]

歡迎來到Bewise Inc.的世界，首先恭喜您來到這接受新的資訊讓產業更有競爭力，我們是提供專業刀具製造商，應對客戶高品質的刀具需求，我們可以協助客戶滿足您對產業的不同要求，我們有能力達到非常卓越的客戶需求品質，這是現有相關技術無法比擬的，我們成功的滿足了各行各業的要求，包括：精密HSS DIN切削刀具、協助客戶設計刀具流程、DIN or JIS 鎢鋼切削刀具設計、NAS986 NAS965 NAS897 NAS937orNAS907 航太切削刀具,NAS航太刀具設計、超高硬度的切削刀具、醫療配件刀具設計、複合式再研磨機、PCD地板專用企口鑽石組合刀具、NSK高數主軸與馬達、專業模具修補工具-氣動與電動、粉末造粒成型機、主機版專用頂級電桿、PCD V-Cut刀、捨棄式圓鋸片組、粉末成型機、主機版專用頂級電感、’汽車業刀具設計、電子產業鑽石刀具、木工產業鑽石刀具、銑刀與切斷複合再研磨機、銑刀與鑽頭複合再研磨機、銑刀與螺絲攻複合再研磨機等等。我們的產品涵蓋了從民生刀具到工業級的刀具設計；從微細刀具到大型刀具；從小型生產到大型量產；全自動整合；我們的技術可提供您連續生產的效能，我們整體的服務及卓越的技術，恭迎您親自體驗！！

BW Bewise Inc. Willy Chen willy@tool-tool.com bw@tool-tool.com www.tool-tool.com skype:willy_chen_bw mobile:0937-618-190 Head &Administration Office No.13,Shiang Shang 2nd St., West Chiu Taichung,Taiwan 40356 http://www.tool-tool.com / FAX:+886 4 2471 4839 N.Branch 5F,No.460,Fu Shin North Rd.,Taipei,Taiwan S.Branch No.24,Sec.1,Chia Pu East Rd.,Taipao City,Chiayi Hsien,Taiwan

العربية مصفات رقمية www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

اذهب إلى: تصفح, ابحث

المصفات الرقمية أو الفلتر الرقمي (بالإنجليزية: digital filter) هي النظير المتقطع للمصفات المتصلة. يتم استعمالها في العديد من المجالات التي تحتاج لفلتر وتعمل على حاسوب مثل استخراج إشارة معينة من إشارة أخرى أو الحد من الضجيج أو ما شابه ذلك من التطبيقات. يمكن تقسيم الفلترات على عدة أسس إلا أن أشهر تقسيم يقوم على التمييز بين إجابة الفلتر بالتصنيف إلى فلترات ذات إجابة منتهية finite response filter أو اختصارا FIR و فلترات ذات إجابة لا منتهيةinfinite response filter

Welcome to BW tool world! We are an experienced tool maker specialized in cutting tools. We focus on what you need and endeavor to research the best cutter to satisfy users’ demand. Our customers involve wide range of industries, like mold & die, aerospace, electronic, machinery, etc. We are professional expert in cutting field. We would like to solve every problem from you. Please feel free to contact us, its our pleasure to serve for you. BW product including: cutting tool、aerospace tool .HSS DIN Cutting tool、Carbide end mills、Carbide cutting tool、NAS Cutting tool、NAS986 NAS965 NAS897 NAS937orNAS907 Cutting Tools,Carbide end mill、disc milling cutter,Aerospace cutting tool、hss drill’Фрезеры’Carbide drill、High speed steel、Compound Sharpener’Milling cutter、INDUCTORS FOR PCD’CVDD(Chemical Vapor Deposition Diamond )’PCBN (Polycrystalline Cubic Boron Nitride) ’Core drill、Tapered end mills、CVD Diamond Tools Inserts’PCD Edge-Beveling Cutter(Golden Finger’PCD V-Cutter’PCD Wood tools’PCD Cutting tools’PCD Circular Saw Blade’PVDD End Mills’diamond tool. INDUCTORS FOR PCD . POWDER FORMING MACHINE ‘Single Crystal Diamond ‘Metric end mills、Miniature end mills、Специальные режущие инструменты ‘Пустотелое сверло ‘Pilot reamer、Fraises’Fresas con mango’ PCD (Polycrystalline diamond) ‘Frese’POWDER FORMING MACHINE’Electronics cutter、Step drill、Metal cutting saw、Double margin drill、Gun barrel、Angle milling cutter、Carbide burrs、Carbide tipped cutter、Chamfering tool、IC card engraving cutter、Side cutter、Staple Cutter’PCD diamond cutter specialized in grooving floors’V-Cut PCD Circular Diamond Tipped Saw Blade with Indexable Insert’ PCD Diamond Tool’ Saw Blade with Indexable Insert’NAS tool、DIN or JIS tool、Special tool、Metal slitting saws、Shell end mills、Side and face milling cutters、Side chip clearance saws、Long end mills’end mill grinder’drill grinder’sharpener、Stub roughing end mills、Dovetail milling cutters、Carbide slot drills、Carbide torus cutters、Angel carbide end mills、Carbide torus cutters、Carbide ball-nosed slot drills、Mould cutter、Tool manufacturer.

Bewise Inc. www.tool-tool.com

ようこそＢｅｗｉｓｅ　Ｉｎｃ.の世界へお越し下さいませ、先ず御目出度たいのは新たな

情報を受け取って頂き、もっと各産業に競争力プラス展開。

弊社は専門なエンド・ミルの製造メーカーで、客先に色んな分野のニーズ、

豊富なパリエーションを満足させ、特にハイテク品質要求にサポート致します。

弊社は各領域に供給できる内容は：

（１）精密ＨＳＳエンド・ミルのＲ＆Ｄ

（２）Carbide Cutting tools設計

（３）鎢鋼エンド・ミル設計

（４）航空エンド・ミル設計

（５）超高硬度エンド・ミル

（６）ダイヤモンド・エンド・ミル

（７）医療用品エンド・ミル設計

（８）自動車部品＆材料加工向けエンド・ミル設計

弊社の製品の供給調達機能は：

（１）生活産業～ハイテク工業までのエンド・ミル設計

（２）ミクロ・エンド・ミル～大型エンド・ミル供給

（３）小Ｌｏｔ生産～大量発注対応供給

（４）オートメーション整備調達

（５）スポット対応～流れ生産対応

弊社の全般供給体制及び技術自慢の総合専門製造メーカーに貴方のご体験を御待ちしております。

Bewise Inc. talaşlı imalat sanayinde en fazla kullanılan ve üç eksende (x,y,z) talaş kaldırabilen freze takımlarından olan Parmak Freze imalatçısıdır. Çok geniş ürün yelpazesine sahip olan firmanın başlıca ürünlerini Karbür Parmak Frezeler, Kalıpçı Frezeleri, Kaba Talaş Frezeleri, Konik Alın Frezeler, Köşe Radyüs Frezeler, İki Ağızlı Kısa ve Uzun Küresel Frezeler, İç Bükey Frezeler vb. şeklinde sıralayabiliriz.

BW специализируется в научных исследованиях и разработках, и снабжаем самым высокотехнологичным карбидовым материалом для поставки режущих / фрезеровочных инструментов для почвы, воздушного пространства и электронной индустрии. В нашу основную продукцию входит твердый карбид / быстрорежущая сталь, а также двигатели, микроэлектрические дрели, IC картонорезальные машины, фрезы для гравирования, режущие пилы, фрезеры-расширители, фрезеры-расширители с резцом, дрели, резаки форм для шлицевого вала / звездочки роликовой цепи, и специальные нано инструменты. Пожалуйста, посетите сайт www.tool-tool.com для получения большей информации.

BW is specialized in R&D and sourcing the most advanced carbide material with high-tech coating to supply cutting / milling tool for mould & die, aero space and electronic industry. Our main products include solid carbide / HSS end mills, micro electronic drill, IC card cutter, engraving cutter, shell end mills, cutting saw, reamer, thread reamer, leading drill, involute gear cutter for spur wheel, rack and worm milling cutter, thread milling cutter, form cutters for spline shaft/roller chain sprocket, and special tool, with nano grade. Please visit our web www.tool-tool.com for more info.

Русский Фильтр Чебышёва www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

Перейти к: навигация, поиск

Линейные электронные фильтры

Фильтр Чебышёва

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Содержание

[убрать]

[править] Фильтр Чебышёва I рода

АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с ω₀ = 1 и $\varepsilon=1$

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$

где $\varepsilon$ — показатель пульсаций, ω₀ — частота среза, а T_n(x) — многочлен Чебышёва $n \!$ -го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) $\varepsilon$ . В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального $\! G=1$ до минимального $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ . На частоте среза ω₀ коэффициент усиления имеет значение $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = $20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}$ .

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют $\varepsilon = 1 \!$ .

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jω в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

[править] Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты (s = σ + jω) при $\varepsilon=0,\!1$ и ω₀ = 1. Белые пятна — это полюса фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый соответствует коэффициенту передачи более 20.

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (ω_pm) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:

$1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0$ .

Представив − js = cos(θ) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

$1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0$ .

Разрешим последнее выражение относительно θ

$\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}$ .

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

s_pm = icos(θ) =

$=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)$ .

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

$s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$

$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)$ ,

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ и

$\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}$ .

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром θ_n. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s = 0, полуось действительной оси имеет длину $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ , а полуось мнимой оси имеет длину $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ .

[править] Передаточная функция

Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра G. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

$H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}$

где $s_{pm}^-$ — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

[править] Групповая задержка

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!5$ . Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет.

Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

$\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))$

[править] Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

$\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}$

[править] Временны́е характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

[править] Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с ω₀ = 1 и $\varepsilon=0,\!01$

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

$G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

$\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ω₀. Параметр $\varepsilon$ связан с затуханием в полосе подавления γ в децибелах следующим выражением:

$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: $\varepsilon=0,\!6801$ ; для затухания в 10 дБ: $\varepsilon=0,\!3333$ . Частота f_C = ω_C / (2π) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ f_H связана с f_C следующим выражением:

$f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right)$ .

[править] Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости (s = σ + jω) с $\varepsilon=0,\!1$ и ω₀ = 1. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюса передаточной функции фильтра — это полюса, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый — коэффициенту усиления более 3.

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов (ω_pm) фильтра Чебышёва:

$1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0$ .

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

$\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$

$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)$ ,

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ .

Нули (ω_zm) фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::

$\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0$ .

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

$1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)$ ,

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ .

[править] Передаточная функция

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комлексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

[править] Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!1$ .

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

[править] Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

[править] Временные характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

[править] Цифровые фильтры Чебышёва

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада:

$S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}$ .

Во временной области преобразование записывается как:

$y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]$

Коэффициенты $\alpha_i \!$ и $\beta_i \!$ подсчитываются из коэффициентов $a_i \!$ и $\! b_i$ :

$K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)$

$\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}$

$b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}$

$a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i$

$\alpha_0 = K \cdot K$

$\alpha_1 = 2 \cdot K^2$

$\alpha_2 = K \cdot K$

$\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)$

$\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)$

$\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)$

$\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime$

$\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

[править] Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

[править] См. также

[править] Библиография

В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X