BW HSS And Carbide Cutting Too: 2009年3月24日

2009年3月24日星期二

日本語楕円フィルタ www.tool-tool.com

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楕円フィルタ（英: Elliptic filter）またはカウアーフィルタ（英: Cauer filter）とは、通過帯域と除去帯域で等リップル性（equiripple）を示すフィルタ回路の一種。各帯域のリップル量は個別に調整可能で、リップルの値が同じ同一次数の他のフィルタと比較すると、通過帯域から除去帯域への利得の変化が最も素早い。逆に通過帯域と除去帯域のリップルの個別調整をせず、成分変動に影響されないフィルタとして設計することもある。

除去帯域のリップルをほぼゼロにしたものを第一種チェビシェフフィルタと呼ぶ。通過帯域のリップルをほぼゼロにしたものを第二種チェビシェフフィルタと呼ぶ。両方のリップルをゼロにしたフィルタはバターワースフィルタとなる。

ローパス楕円フィルタの利得を各周波数 ω の関数として表すと次のようになる。

$G_n(\omega) = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi,\omega/\omega_0)}}$

ここで R_n はn次楕円有理関数（チェビシェフ有理関数）、ω₀ は遮断周波数、ε はリップル係数、ξ は選択係数である。

リップル係数の値で通過帯域のリップルが決まり、リップル係数と選択係数の組み合わせで除去帯域のリップルが決まる。

特性 [編集]

四次楕円ローパスフィルタの周波数応答（ε=0.5、ξ=1.05）。水平な線で通過帯域の最小利得、除去帯域での最大利得を示し、垂直な線で正規化された周波数 1 と ξ を示している。

上図の遷移領域を拡大した図

通過帯域では、楕円有理関数はゼロと単位元の間で変化する。したがって通過帯域の利得は1と $1/\sqrt{1+\epsilon^2}$ の間で変化する。除去帯域では、楕円有理関数は無限大と以下の識別係数 L_n の間で変化する。

$L_n=R_n(\xi,\xi)\,$

したがって、除去帯域の利得は0と $1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}$ の間で変化する。

$\xi \rightarrow \infty$ の極限で楕円有理関数はチェビシェフ多項式となるので、フィルタとしてはリップル係数 ε の第一種チェビシェフフィルタとなる。

バターワースフィルタはチェビシェフフィルタの極限形式なので、 $\xi \rightarrow \infty$ 、 $\omega_0 \rightarrow 0$ 、 $\epsilon \rightarrow 0$ の極限で $\epsilon\,R_n(\xi,1/\omega_0)=1$ となるようにすると、バターワースフィルタになる。

$\xi \rightarrow \infty$ 、 $\epsilon \rightarrow 0$ 、 $\omega_0\rightarrow 0$ の極限で ξω₀ = 1 かつ εL_n = α となるようにすれば、第二種チェビシェフフィルタとなり、その利得は

$G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}}$

となる。

極と零点 [編集]

八次楕円フィルタの利得の絶対値を複素周波数平面上 (s=σ+jω) で示した図（ε=0.5、ξ=1.05、ω₀ = 1）。白い点が極で黒い点が零点。2つ並んでいる零点の拡大した図を下図に示している。この図では黒は利得 0.0001 以下に対応し、白は利得 10 以上に対応している。

上図の遷移領域の拡大図。2つの零点と4つの極が見える。

楕円フィルタの利得の零点は楕円有理関数の極と一致する。

楕円フィルタの利得の極は、第一種チェビシェフフィルタの利得の極とほぼ同じ手法で導出できる。単純化するため、遮断周波数を単位元にする。楕円フィルタの利得の極 (ω_pm) は利得の分母がゼロとなる点である。複素周波数 s = σ + jω を使うと、次が成り立つ場合である。

$1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,$

− js = cd(w,1 / ξ) と定義し（cd() はヤコビの楕円コサイン関数）、楕円有理関数を定義を使うと、次の式が得られる。

$1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,$

ここで K = K(1 / ξ) かつ K_n = K(1 / L_n) である。これを w について解くと

$w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n}$

となる。cd()の逆関数の複数の値は、整数インデックス m を使うと明示される。

したがって楕円利得関数の極は次のようになる。

$s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi)\,$

チェビシェフ多項式と同様、これも明示的な複素形式で表現できる。

$s_{pm}=\frac{a+jb}{c}$

$a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2}$

$b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)}$

$c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2$

ここで ζ_n は $n,\,\epsilon$ および ξ の関数で、x_m は楕円有理関数の零点である。ζ_n を全ての n について表現するには、ヤコビの楕円関数を使う手法があり、三次程度までなら代数的に表せる。一次および二次は次の通り。

$\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}$

$\zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}}$

ここで

$t=\frac{1}{\sqrt{1-1/\xi^2}}$

である。ζ₃ の代数的表現はこれらよりもやや複雑である。

楕円有理関数の入れ子特性を利用して ζ_n のより高次な式を構築できる。

$\zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)= \zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right)$

ここで L_m = R_m(ξ,ξ) である。

最小Q値楕円フィルタ [編集]

八次楕円フィルタ（ξ=1.1）の極の正規化されたQ値を脈動率 ε の関数として描画した図。各曲線は4つの極に対応している（複素共役な極や符号の反転した極は同じQ値になるため）。全ての極のQ値は ε_Qmin=1/√L_n=0.02323... で同時に最小となる。

一般に楕円フィルタの特性は、通過帯域のリップル値、除去帯域のリップル値、遮断の急峻度などで表される。それによって使用可能なフィルタ次数の最小値が決定される。また設計時に考慮すべきこととして、電子部品の特性値が利得関数にどの程度影響するかという問題がある。これは伝達関数の極のQ値に反比例する。極のQ値は以下のように定義される。

$Q =-\frac{|s_{pm}|}{2\mathrm{Re} (s_{pm})} = -\frac{1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}$

そしてこれは、利得関数上の極の影響度合いを表す。楕円フィルタでは、次数を固定してリップル係数と選択係数を変化させると、伝達関数の全ての極のQ値を同時に最小化する組み合わせが存在する。

$\epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}}$

これにより部品の特性のばらつきに最も影響されないフィルタが得られるが、通過帯域と除去帯域のリップルを個別に設定することはできなくなる。このようなフィルタの次数を上げていくと、両帯域のリップルが減少していき、遮断率が高くなる。最小Q値楕円フィルタでリップルも最小化しようとすると、最小 Q値でないフィルタよりも次数を高くする必要がある。利得の絶対値を複素周波数平面にプロットすると、前節の図と似たような図が得られるが、極は楕円ではなく真円上に並ぶ。

他の線形フィルタとの比較 [編集]

下図は楕円フィルタと他のフィルタの利得を示したものである。いずれも五次のフィルタである。

楕円フィルタは他のフィルタよりも急峻だが、全帯域にリップルが生じている。

参考文献 [編集]

Daniels, Richard W. (1974年). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. (2001年). Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica© (English). New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.

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Italiano Filtro ellittico www.tool-tool.com

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Un filtro ellittico (chiamato anche filtro di Cauer) è un filtro caratterizzato da comportamento equiripple sia nella banda passante sia nella banda attenuata.

Ciò significa che l'errore massimo viene minimizzato in entrambe queste bande, a differenza del Filtro Chebyshev, dotato di comportamento equiripple solo in banda passante, e del filtro Chebyshev inverso, che ha questo comportamento solo in banda attenuata.

La risposta in frequenza di un filtro passa-basso ellittico è data dalla formula:

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\omega)}}$

dove R_n è la funzione razionale di Chebyshev di n-esimo ordine.

Il nome di filtro ellittico deriva dal fatto che per determinare il grado n della funzione R_n, e per determinarne i poli e gli zeri, bisogna fare uso degli integrali ellittici completi o incompleti di prima specie.

Il calcolo dei poli della funzione di trasmissione H(s) = f(s) / g(s) può essere eseguito ricorrendo alle proprietà delle funzioni ellittiche in campo complesso; più semplicemente si possono ottenere risolvendo l'equazione caratteristica:

$g(s) = \mathbf{Hw}\left[ h(s)h(-s) + f(s)f(-s) \right]$

dove h(s) e f(s) sono rispettivamente il numeratore e il denominatore di εR_n(s); $\mathbf{Hw}[\ldots]$ è l'operatore che permette di separare la parte hurwitziana dal polinomo pari che forma il suo argomento, cioè permette di generare il polinomio che contiene solo le radici con parte reale negativa.

Va da sé che il calcolo e la sintesi dei filtri ellittici non può essere eseguito "a mano", ma richiede mezzi di calcolo adeguati. Per superare questa difficoltà esistono in commercio i catologhi dei filtri, il più completo dei quali, per quanto riguarda i filtri ellittici, è quello di Rudolph Saal, Handbook of ﬁlter design, AEG–Telefunken, Berlino, 1979. Qui vi sono tabulati sia gli zeri e i poli della funzione di trasferimento, sia, con grande precisione, le frequenze degli zeri di trasmissione per poter eseguire una taratura fine di queste quantità, sia, infine, i valori normalizzati dei componenti reattivi per la realizzazione passiva. Gli zeri e i poli della funzione di trasferimento servono invece per la realizzazione con celle attive o passive disaccopiate connesse in cascata, per esempio per l'esecuzione mediante filtri RC-attivi.

Ovviamente le consuete trasformazioni di frequenza consentono di trasformare le caratteristiche di trasmissione dei filtri passa-basso ellittici in quelle di altri filtri, passa-alto, passa-banda, elimina-banda, da realizzare in forma analogica a parametri concentrati o distribuiti commensurati, oppure come filtri numerici.

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Français Filtre elliptique www.tool-tool.com

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Les filtres elliptiques, appelés également filtres de Cauer, en hommage au théoricien qui en exhiba le premier l'intérêt, sont des filtres dont la réponse est caractérisée par une ondulation tant en bande passante qu'en bande atténuée. Cauer a montré qu'ils sont optimaux en ce sens qu'aucun filtre, à ordre donné, ne présente une coupure plus raide que les filtres elliptiques. Mathématiquement, ces filtres font appel au formalisme des transformations conformes, ils s'appuient donc sur la théorie des fonctions elliptiques de Jacobi, d'où leur nom.

Sommaire

[masquer]

Généralités [modifier]

Les filtres elliptiques possèdent trois degrés de liberté, contrairement aux autres filtres qui n'en présentent que deux au maximum : leur ordre, l'ondulation en bande passante et la raideur de la coupure, laquelle détermine également l'atténuation minimale en bande atténuée. Dans les tables, ils apparaissent donc sous la forme CC n ρ θ, où n est l'ordre, ρ est l'ondulation et θ l'angle de coupure (la raideur) : θ = 90° correspond à une bande de transition nulle, et à θ = 0° on retrouve un filtre de Tchebychev de type 1. À ρ = 0, on revient à un filtre de Tchebychev de type 2.

Les filtres elliptiques d'ordre impair possèdent des impédances d'entrée et de sortie identiques. Les filtres d'ordre pair se classent en deux catégories : le sous-type b possède des impédances d'entrée et de sortie différentes, le sous-type c a des impédances égales.

Ces filtres, tout comme les filtres de Tchebychev d'ordre 2, présentent une topologie qui alterne les circuits LC et les composants simples (L ou C). Ce ne sont pas des filtres en échelle.

L'emploi des filtres elliptiques demeure assez confidentiel, en raison de la difficulté inhérente à leur calcul. Cet inconvénient est désormais levé par l'emploi de programmes de synthèse par ordinateur.

Optimisation [modifier]

Il est possible de réaliser au moins deux types d'optimisation simples mais utiles sur les filtres elliptiques :

Dans le cas où l'on souhaite éliminer une fréquence particulière ou bien une bande étroite autour d'une fréquence donnée, on peut placer le premier pôle d'atténuation précisément à cette fréquence. Ceci garantit une atténuation quasiment infinie donc une élimination de la fréquence, et fixe l'angle θ. Il reste donc à jouer sur l'ordre et l'ondulation pour déterminer les autres caractéristiques du filtre.
Les circuits bouchons série qui réalisent les pôles d'atténuation peuvent être placés dans n'importe quel ordre au sein du filtre. Ceci introduit une légère liberté sur la réalisation qui peut permettre de trouver des combinaisons maximisant ou minimisant la valeur de composants critiques.

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幾何公差の種類と記号www.tool-tool.com

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適用する形体
幾何公差の種類
記号
定義

単独形体
形状公差
1.真直度公差

直線形体の幾何学的に正しい直線からのひらきの許容値。

2.平面度公差

平面形体の幾何学的に正しい平面からのひらきの許容値。

3.真円度公差

円形形体の幾何学的に正しい円からのひらきの許容値。

4.円筒度公差

円筒形体の幾何学的に正しい円筒からのひらきの許容値。

単独形体
または
関連形体
5.線の輪郭度公差

理論的に正確な寸法によって定められた幾何学的輪郭からの線の輪郭のひらきの許容値。

6.面の輪郭度公差

理論的に正確な寸法によって定められた幾何学的輪郭からの面の輪郭のひらきの許容値。

関連形体
姿勢公差
7.平行度公差

データム（注）直線またはデータム平面に対して平行な幾何学的直線または幾何学的平面からの平行であるべき直線形体または平面形体のひらきの許容値。

8.直角度公差

データム直線またはデータム平面に対して直角な幾何学的直線または幾何学的平面からの直角であるべき直線形体または平面形体のひらきの許容値。

9.傾斜度公差

データム直線またはデータム平面に対して理論的に正確な角度をもつ幾何学的直線または幾何学的平面からの理論的に正確な角度をもつべき直線形体または平面形体のひらきの許容値。

位置公差
10.位置度公差

データムまたは他の形体に関連して定められた理論的に正確な位置からの点、直線形体、または平面形体のひらきの許容値。

11.同軸度公差
　または同心度公差

同軸度公差は、データム軸直線と同一直線上にあるべき軸線のデータム軸直線からのひらきの許容値。また、同心度公差は、データム円の中心に対する他の円形形体の中心の位置のひらきの許容値。

12.対称度公差

データム軸直線またはデータム中心平面に関して互いに対称であるべき形体の対称位置からのひらきの許容値。

振れ公差
13.円周振れ公差

データム軸直線を軸とする回転体をデータム軸直線のまわりに回転したとき、その表面が指定された位置または任意の位置において指定された方向に変位する許容値。

14.全振れ公差

データム軸直線を軸とする回転体をデータム軸直線のまわりに回転したとき、その表面が指定された方向に変位する許容値。

（注）データム：形体の姿勢公差、位置公差、振れなどを決めるために設定した理論的に正確な幾何学的基準（関連形体の場合に必要）

幾何公差図の線の説明

公差域の定義欄で用いてる線は、次の意味を表している。

太い実線または破線：形体

太い一点鎖線：データム

細い実線または破線：公差域

細い一点鎖線：中心線

細い二点鎖線：補足の投影面または切断面

太い二点鎖線：補足の投影面または切断面への形体の投影

1.真直度公差（線の真直度公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、一つの平面に投影されたときには、tだけ離れた2つの平行な直線の間に挟まれた領域である。

指示線の矢で示した直線は、矢の方向に0.1ミリだけ離れた2つの平行な平面の間になければならない。

2.平面度公差

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、tだけ離れた2つの平行な平面の間に挟まれた領域である。

この表面は、0.08ミリだけ離れた2つの平行な平面の間になければならない。

3.真円度公差

公差域の定義
図示例とその解釈

対象としている平面内での公差域は、tだけ離れた2つの同心円の間の領域である。

外径面の任意の軸直角断面における外周は、同一平面上で、0.03ミリだけ離れた2つの同心円の間になければならない。

任意の軸直角断面における外周は、同一平面上で0.1ミリだけ離れた2つの同心円の間になければならない。

4.円筒度公差

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、tだけ離れた2つの円軸円筒面の間の領域である。

対象としている面は、0.1ミリだけ離れた2つの円軸円筒面の間になければならない。

5.線の輪郭度公差（単独形体の線の輪郭度公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、理論的に正しい輪郭線上に中心をおく、直径tの円がつくる2つの包路線の間に挟まれた領域である。

投影面に平行な任意の断面で、対象としている輪郭は、理論的に正しい輪郭をもつ線の上に中心をおく直径0.04ミリの円がつくる2つの包路線の間になければならない。

6.面の輪郭度公差（単独形体の面の輪郭度公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、理論的に正しい輪郭面上に中心をおく、直径tの球がつくる2つの包路面の間に挟まれた領域である。

対象としている面は、理論的に正しい輪郭をもつ面の上に中心をおく、直径0.02ミリの球がつくる2つの包路面の間になければならない。

7.平行度公差(データム直線に対する線の平行度公差)

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、1つの平面に投影されたときには、データム直線に平行でtだけ離れた2つの平行な直線の間に挟まれた領域である。

公差の指定が互いに直角な2つの平面で行われている場合には、この公差域は、断面t1×t2で、データム直線に平行な直方体の中の領域である。

公差を示す数値の前に記号φが付いている場合には、この公差域は、データム直線に平行な直径tの円筒の中の領域である。

指示線の矢で示す軸線は、データム軸直線Aに平行で、かつ、指示線の矢の方向（垂直な方向）にある0.1ミリだけ離れた2つの平面の間になければならない。

指示線の矢で示す軸線は、データム軸直線Aに平行で、かつ、指示線の矢の方向（水平な方向）にある0.1ミリだけ離れた2つの平面の間になければならない。

指示線の矢で示す軸線は、それぞれの指示線の矢の方向、すなわち、水平方向に0.2ミリ、垂直方向に0.1ミリの幅をもち、データム軸直線Aに平行な直方体内になければならない。

指示線の矢で示す軸線は、データム軸直線Aに平行な直径0.03ミリの円筒形になければならない。

8.直角度公差(データム直線に対する線の直角度公差)

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、一平面に投影されたときには、データム直線に垂直で、tだけ離れた2つの平行な直線で挟まれた領域である。

指示線の矢で示す傾斜した穴の軸線は、データム軸直線Aに垂直で、かつ、指示線の矢の方向に0.06ミリだけ離れた2つの平行な平面の間になければならない。

9.傾斜度公差(データム直線に対する線の傾斜度公差)

公差域の定義
図示例とその解釈

（a）
同一平面内の線とデータム直線

一平面に投影されたときの公差域は、データム直線に対して指定された角度で傾き、tだけ離れた2つの平行な直線の間に挟まれた領域である。

（b）
同一平面内にない線とデータム直線

対象としている線とデータム直線とが、同一平面上にない場合には、この公差域は、データム直線を含み、対象としている線に平行な平面へ、対象としている線を投影したとき、データム直線に対して指定された角度で傾き、tだけ離れた2つの平行な直線の間に挟まれた領域である。

指示線の矢で示した穴の軸線は、データム軸直線A-Bに対して理論的に正確に60°傾斜し、指示線の矢の方向に0.08ミリだけ離れた2つの平行な平面の間になければならない。

データム軸直線A-Bを含み、指示線の矢で示した穴の軸線に平行な平面への穴の軸線の投影は、データム軸直線A-Bに対して理論的に正確に60°傾斜し、指示線の矢の方向に0.08ミリだけ離れた2つの平行な直線の間になければならない。

10.位置度公差（点の位置度公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、対象としている点の理論的に正確な位置（以下、真位置という）を中心とする直径tの円の中または球の中の領域である。

指示線の矢で示した点は、データム直線Aから60ミリ、データム直線Bから100ミリ離れた真位置を中心とする直径0.03ミリの円の中になければならない。なお、この図例の場合は、データム直線A、Bの優先順位はない。

備考
図に現れている面に垂直方向の厚みを考慮に入れるときは、ここに説明した円は円筒となり、点は線となる。

指示線に矢で示した球の中心は、データム軸直線Aの線上でデータム平面Bから14ミリ離れた真位置に中心をもつ、直径0.3ミリの球の中になければならない。

11.同軸度公差または同心度公差

11.1同軸度公差

公差域の定義
図示例とその解釈

公差を示す数値の前に記号φがついている場合には、この公差域は、データム軸直線と一致した軸線をもつ直径ｔの円筒の中の領域である。

指示線の矢で示した軸線は、データム軸直線A-Bを軸線とする直径0.08ミリの円筒の中になければならない。

11.2同心度公差

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、データム点と一致する点を中心とした直径ｔの円の中の領域である。。

指示線の矢で示した円の中心は、データム点Aを中心とする直径0.01ミリの円の中になければならない。

12.対称度公差（データム中心平面に対する面の対称度公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域はデータム中心平面に対して対称に配置され、互いにtだけ離れた2つの平行な平面の間に挟まれた領域である。

指示線の矢で示した中心面は、データム中心平面Aに対称に0.08ミリの間隔をもつ、平行な2つの平面の間になければならない。

13.円周振れ公差（半径方向の円周振れ公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、データム軸直線に垂直な任意の測定平面上でデータム軸直線と一致する中心をもち、半径方向にtだけ離れた2つの同心円の間の領域である。振れは一般には、軸線の周りの完全な一回転について適用されるが、一回転のうちの一部分に適用を限定することもできる。

指示線の矢で示す円筒面の半径方向の振れは、データム軸直線A-Bに関して一回転させたときに、データム軸直線に垂直な任意の測定平面上で、0.1ミリを超えてはならない。

指示線の矢で示す円筒面の一部分［図（a）では太い一点鎖線で示す範囲、図（b）では扇形の円筒部分］の半径方向の振れは、公差付き形体部分を、データム軸直線Aに関して回転させたときに、データム軸直線に垂直な任意の測定平面上で0.2ミリを超えてはならない。

14.全振れ公差（半径方向の全振れ公差）

公差域の定義
図示例とその解釈

公差域は、データム軸直線に一致する軸線をもち、半径方向にｔだけ離れた2つの同軸円筒の間の領域である。

指示線の矢で示す円筒面の半径方向の全振れは、この円筒部分と測定具との間で軸線方向に相対移動させながら、データム軸直線A-Bに関して円筒部分を回転させたときに、円筒表面上の任意の点で0.1ミリを超えてはならない。測定具または対象物の相対移動は、理論的に正確な輪郭線に沿い、データム軸直線に対して正しい位置で行われなければならない。