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偉大なる法則www.tool-tool.com

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　前話では，〈力〉が原因となって，その結果として〈変形〉が起こるという構図で話を展開してきました．もちろん，それを適用する対象は〈物体〉でした．

　ところで，その〈力〉という量は文字通り力学量ですし，一方，結果となる〈変形〉は長さの変化や角度の変化でしたから，これは幾何学量以外の何者でもないでしょう．それにしても，このことを改めてじっと考えてみると，なぜこの異質な量が必然的関係にあるかのように理解してしまっているのか，疑問を覚えてないでもありません．それをカント流に言えば，体験に基づいた総合判断として暗黙の内に了解されていたというところでしょう．しかしそのような関係について誰かが明確な形式を提言しなければ，科学的な意味でのこの因果関係の成立はなかったと見るべきでしょう．

　そこでこの第３話では，この力学量と幾何学量という異質な二つの世界の橋渡しをした，その偉大なる法則についてご紹介したいと思います．

■３－１　〈力学量〉と〈幾何学量〉をつなぐ式

　本題に入る前に，ここでは，先ずここまでの物語に出てきた各種の力学量と各種の幾何学量の対応関係を整理しておきましょう．
　変形を考える材料力学では，力を〈外力〉と〈内力(応力)〉とに分けました．一方，変形は例えば〈伸び量〉と〈伸び率（ひずみ）〉に分けて考えました．そして，それらの対応の仕方はちょうど図３.1のようになっています．

　この図から分かるように，〈応力〉―〈ひずみ〉で一つの対応関係が，〈力〉―〈変形量〉でまた一つの対応関係があることが分かります．つまり，内側同士，外側同士で考えればよいというわけです．
　さて上図において，《？》や《？？？》の中にどんな関係式が入るかが，これからの話題になります．

（１）〈応力〉と〈ひずみ〉をつなぐもの――フックの法則

　力学的な量である〈応力〉と幾何学的な量である〈ひずみ〉という異質な二つの量を関係づけている唯一ものが，実は〈フックの法則〉と呼ばれるものなのです．〈フックの法則〉は普段はバネの伸びと力の関係として何気なく耳にしているものですが，実はまったく異なる概念からなる二つの世界をしっかり橋渡しするという役割を担った偉大な法則だったのです．
　さて，そのフックの法則は〈応力〉と〈ひずみ〉の形態に応じて次のように定義されています．

　ここに，比例定数Eは縦弾性係数あるいはヤング率といわれ，また，Gは横弾性係数（せん断弾性係数）と呼ばれます．詳細は後ほど説明することに致しましょう．
　なお，ねじりや曲げについては本質的にそれぞれ垂直応力とせん断応力の場合と変わらないので，その場合の具体的な形は割愛することにします．

（２）〈力〉と〈変形量〉をつなぐ式――これもフックの法則

　〈外力〉と〈変形量〉との関係は前節（１）の結果から自動的に次のように表されます．なお，ねじりや曲げを考える際には真っ直ぐな棒（断面幅に対して長さが十分長い部材）に限定してその関係式を示しています．

　ここに，Aは断面積，I_pは断面２次極モーメント，Iは断面２次モーメントで，何れも断面に関する幾何学的特性値です．その詳細はまた後ほど説明致します．
　また，次のような量もしばしば登場してきます．頭の隅にでも……．
AE：伸び剛性……伸びにくさを表す
AG：せん断剛性……せん断のしにくさを表す
GI_p：ねじり剛性……ねじりにくさを表す
EI：曲げ剛性……曲げにくさを表す

　特にこれらの関係式そのものに対し〈フックの法則〉という呼び方は余りしませんが，意味の上からは，〈フックの法則〉に他なりません．特に，上図最上段にある引張・圧縮力と伸縮量の関係は，係数AE/Lをバネ定数kと考えれば，まさにバネの伸びと力の関係を表すフックの法則そのものです．

■３－２　材料力学における特性値一覧

　変形の力学では，いま見たようにヤング率であるとか断面２次モーメントであるとか，とにかくいろいろな特性値が表れてきます．以下にそれらを一斉に説明してみます．

（１）物質的特性値（物性値）／力学の世界に属する

①密度

　物質の単位体積当たりの質量をいいます（物質1m³は何㎏かという値）．これは物質ごとに固有の値を持ち，物性値です．なお，熱や流体の力学ではよく〈比体積〉というものが使われますが，それはこの密度の逆数になっています（1㎏の質量が占める体積）．
　ただ，材料力学は静力学なので，密度は直接的に使われることはありません．

②縦弾性係数と横弾性係数

　『フックの法則』の中に現れる縦弾性係数Eや横弾性係数Gは材料の変形しにくさを表していて（値が大きい材料ほどひずみにくい），材料ごとに固有の値をもつ物性値です．
　また，縦弾性係数と横弾性係数の間には次のような関係があります．
･･･････････････････････････････････(3-1)
　ここに，n はポアソン比というものですが，それでは直ちに事項へ進みましょう．

③ポアソン比

　例えば丸棒を引っ張るとき，丸棒の直径は減少します．反対に圧縮すれば増加します．つまり，垂直応力の生じる方向と直角な方向にもひずみを定義できるということで，このひずみのことを〈横ひずみ〉といいます．
　右図において〈横ひずみ〉はもとの直径に対する直径の減少率で次のように表すことができます．
･･････････････････････････(3-2)
　さてこのとき，弾性限度内ででは縦ひずみ（垂直ひずみ）eと横ひずみe’は比例関係にあることが知られていて，そのときの比率をポアソン比とかポアソン数と呼んでいいます．その定義はそれぞれ次の通りです．
　　ポアソン比n
･････････････････････････････････(3-3)
　　ポアソン数m
･･･････････････････････････(3-4)
　ここまでの密度，弾性係数，ポアソン比は実際どんな値かを表３.１で確認することにしましょう．

表3.1　材料の物性値

材　　料
縦弾性係数
E　[GPa]
横弾性係数
G　[GPa]
ポアソン比
n
密　度
r　[kg/m³]

　　　鋼
炭素鋼・合金鋼
鋳　　　　鉄
黄　　　　銅
アルミ合金
ガ　　ラ　　ス
コンクリート
　　206
　　206
　　 98
　　103
　　 73
　　 69
　　 20
　　 80
　　 80
　　 34
　　 41
　　 26
　　0.3
　　0.3
　　0.3
　　0.33
　　0.33
　　0.22
　　0.2
　　　　　　×10³　　7.86
　　7.86
　　7.86
　　8.65
　　2.7
　　2.5
　　2

（日本機械学会編『機械実用便覧』（丸善刊1990）に基づいて表を構成）

④体積弾性率

　弾性率としては縦と横の他に体積変化のしにくさを表す，体積弾性係数Kというものがあります．固体ではあまり問題になりませんが，液体や気体などを扱う上では大変重要な弾性率です．
　体積弾性率は縦弾性係数と一意な関係があり次の通りです．
････････････････････････････････(3-5)
　また，体積変化の際には，内力としては〈圧力p〉を，変形率としては〈体積ひずみe_v〉を考え，それらの間にやはり次のフックの法則が成り立ちます．
･･････････････････････････････････････(3-6)
　ここに，体積ひずみは次の通りです．
････(3-7)
　因みに，体積弾性率Kの逆数は圧縮率と呼ばれます．

（２）　幾何学的特性値／幾何学の世界に属する

　棒に関しての諸特性を整理します．

①断面２次モーメント

　断面を無数の微小断面積dAに分割し，その各々について，ある回転軸からの距離の２乗y²を掛けてそれらを全て足し合わせて計算されるもので，長さの４乗の次元を持ちます．

･･････(3-8)

　回転軸とは，棒が曲がるときその断面はわずかに回転するわけですが，その時の中心軸を意味します（右図ではＮ－Ｎです）．この断面２次モーメントは曲げに関して，幾何学的意味で（図形の上で）の変形しにくさを表しています．
　因みに，ヤング率などは力学的な意味での変形のしにくさを表しています．

②断面２次極モーメント

　これはねじりに関する断面２次モーメントで，幾何学的なねじりにくさを表します．分割した微小断面dAと同一面内にある１点との距離の２乗r²を掛けて足し合わせて計算します．
　・････････････････････････････(3-9)

③断面係数

　断面係数ははりの曲げ問題の中で出てくるもので，断面２次モーメントをはり断面の中立軸とはり表面までの距離Hで割って得られ，長さの３乗の次元を持ちます．曲げ応力（後述します，実は垂直応力に他ならない）の計算に用いられます．
････････････････････････････(3-10)

④極断面係数

　極断面係数は丸棒のねじり問題の中で出てくるもので，丸棒について定義され，断面２次極モーメントを棒の半径Rで割って得られ，長さの３乗の次元をもちます．ねじり応力の計算に用いられます．
････････････････････････････(3-11)
　以上の幾何学的特性値を総括すると次の表のようになります．なお，上式の表現では総和記号Σで計算の仕方を表しましたが，実際は積分によって計算しています．

予告編　引張りとせん断を科学する

　さて，３話にわたって材料力学の基礎的な理解を深めることに主眼をおいて話を進めてきたが，次回から，いよいよ具体的な，“使える材力”に視点を移して話題を提供していく．
　次回では，まず基本的な「引張りとせん断」について話を展開しよう．

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力学としての材料力学　～そのキャスティング～www.tool-tool.com

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　第１話の冒頭で宣言したように，材料力学は力学でした．そしてそれがどんな力学であるかは，末尾の予告でその一端を示したように「材料力学は連続体である弾性体を解析の対象にし，構造物の強度を判定する線形静力学」というものでした．

　そこで，この第２話ではそれがどんな仕組みになっているのか，言い換えれば，この材料力学という物語に登場してくるキャストをご紹介しようと思います．

　力学の概念の中で，材料力学の占める位置は図２.１のようになっていますが，以下，この構図を終始念頭におきながら，解説を進めていくことにします．

■２－１　材料力学における〈力〉と〈変形〉の諸形態

　図２.１に見るように，材料力学においては，原因は当然〈力〉となりますが，結果としては〈形の変化〉を考えることになります．ここのところが，「質点の力学」や「剛体の力学」とはその趣を異にします．
　そして材料力学では，一口に〈力〉とか〈形の変形〉といってもそれらの形態は原因と結果という構図で互いに関連しあって様々に分化されて扱われます．
　そこで，材料力学に現れる〈力〉と〈形の変化〉の諸形態を関連づけながら整理すると，次の図２.２のようになります．

■２－２　新しい力学量，〈応力〉の導入

　材料力学をはじめとする連続体を扱う力学では，「質点の力学」や「剛体の力学」では全く馴染みのなかった，新たに内力(ないりょく)という考え方を導入します．これが材料力学を学ぶ上での１つのキーポイントになります．因みにこれに対する語は外力となります．要するに材力では，力学量である力を〈外力〉と〈内力〉に分けて考えるのです．
　　　　　　　　　　　＊　　＊
　さて，その外力とは文字通り物体に外部から作用する力のことですが，一方の内力の方は，物体が外力を受けるときその内部のある断面に分布している物質同士が互いに及ぼしあう力のことをいいます．この力を物質粒子一個当たりの力として考える方が理解しやすいところなのですが，実際，物質粒子がその断面にいくつあるのか，また整然と並んでいるのか，そもそも物質粒子とは厳密にどう定義すべきか等々確定するにはかなりの困難を要します．そこで物質粒子一個一個等という微視的なとらえ方をやめてもっと巨視的に捉え，粒子を面積に置き換えることにして，内力を単位面積あたりの力で表すことにするのです（こういう巨視的捉え方は“古典論”と呼ばれます．それに対するものは“量子論”）．
　そしてその内力を〈応力〉と呼んでいるのです．また応力度とも呼ばれますが，機械工学分野では応力ということの方が今はほとんどです．

　さて，そこで内力としての応力ですが，外力の諸形態にあわせてそれぞれ次のように定義されています．

　引張応力と圧縮応力は符号が逆になっているだけなのでひとまとめにして垂直応力と呼んで，同じ記号で表します．
　また，ねじり応力や曲げ応力の式での表現は多少複雑になりここでは割愛しますが，結局，ねじり応力とは回転形式のせん断応力に他なりませんし，曲げ応力の中身は垂直応力です．したがって，ここでは基本となる垂直応力（引張応力と圧縮応力）とせん断応力について押さえておけばひとまず十分であろうと思います．

■２－３　新たな幾何学量，〈ひずみ〉の導入

　一方，幾何学量である〈形の変化〉においても，前項と同様に質点や剛体の力学にはなかった新たな幾何学量を導入します．これもやはり連続体を扱う上での特質といえるのです．
　材料力学では長さや角度といった量をそのまま用いないで，それをある種の比率すなわち変形率に表すことを考えます．それがすなわち〈ひずみ〉というわけです．これも力を外力と内力に分けて考えたように，ひずみもまた目に見える幾何学量でない物質内部での内的な量として捉えることができます．
　ひずみも応力と同様に，変形の諸形態に対応してそれぞれ次のように定義されています．

　ひずみは長さの比になっているので，単位は１の無次元数です．
　伸びひずみと圧縮ひずみは符号が逆になっているだけなのでひとまとめにして垂直または縦ひずみと呼んで，同じ記号で表します．一方，ねじれに関しては回転形式のせん断ひずみであり，本質的にずれと変わりありませんが，ただ新たに〈比ねじり角〉というものが登場して来ることに注意しておいて下さい．また，たわみに対しては曲げひずみというものが定義されますが，その中身は垂直ひずみに他なりません．
　したがって，ここでは基本となる垂直ひずみ（伸びひずみと圧縮ひずみ）とせん断ひずみについて押さえておけばひとまず十分です．ただ，比ねじり角というものがあることをお忘れないように……．

予告編　二つの世界をつなぐもの

　さて，運動の原因となる〈力〉は力学の世界の量である．一方，結果となる〈変形〉は幾何学の世界の量である．考えてみれば，この二つの世界は全く異質の世界であり，何ら必然的な関係が保証されているわけではない．その異質な二つの世界に橋渡しをした偉大な法則がある．もしこれがなかったならば「変形の力学」の発展は望むべくもかったであろう．
　次回は，その偉大なる法則の材料力学における活躍ぶりをご紹介しましょう．

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力学事始めwww.tool-tool.com

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　材料力学は力学に他なりません．それにしても，そもそも力学とはどういうものでしょう．力の学問？　これでは「寒冷前線の活動が活発になり……」と同じくらい不可解な説明です（前線の何が活発なのだろうか？）．ところが案外力学の教科書にはそれが見当たりません．その多くのはじまりは質点やベクトルであったり，あるいは速度・加速度だったりします．もう少し探してみましょう．ようやく発見――．「物質の運動およびその運動をひきおこす力を研究するもの」とありました．どうも分かっている人なら読んでその巧さが分かるのでしょうが，初めての人にとっては果たしてどんなものでしょう？

　それでは、この説明を手掛かりに，まず「力学」に対する理解を掘り下げていくことにしましょう．

■１－１　〈力学〉とは何か？

　力学は「物質の運動およびその運動をひきおこす力を研究するもの」であるというのですが，これを解釈するキーポイントは，力が原因となり，運動（動き）が結果となるということです．つまり「力学」とは，〈物体〉を対象にした〈力〉と〈運動〉の因果関係を体系化した学問（知識）ということとして捉えられるでしょう．

改めて言い直す必要もありませんが，「力学」では，〈物体〉が対象物で，それを挟んで〈力〉が原因あるいは入力，〈運動〉が結果あるいは出力（応答）になるということです．もちろん逆に，ある運動を起こしている力を究明するという原因究明の逆問題もこの意味に含まれています．以上のことを図式的に整理すれば，図１.１のようになります．

　ところで「力」を加えると，物体は真っ直ぐ動いたりあるいは回転したりします．そのことをよく観察すると力の加わり方に、何通りかの違いのあることが分かります．

　一方「物体」の方も，野球のボールのようなものから，棒状のもの，ゴム製の曲がりやすいもの，水のように流れてしまうものなど様々です．実は様々なようでもうまく分類すると幾つかにまとめることができるのですが――．

　そして「運動」もまた真っ直ぐ運動したり曲線的に動いたりとその形態は様々です．

　そこで以下に，今述べた力学を構成する基本概念である〈力〉，〈運動〉，〈物体〉の中身について分析してみることにしましょう．

■１－２　力学を構成する基本概念〈物体〉と〈運動〉

　まず，力学を構成する基本概念〈力〉，〈物体〉，〈運動〉のうち，まず現象として観察できる〈物体〉および〈運動〉について分析してみることにします．

（１）物体

　一口に〈物体〉といっても詳しく見てみると奥深いものがあります．力学は“物体に作用する力と運動の関係を論ずる学問”ですが，物体はその対象となるものでした．いってみれば，物体は力学という調理器具で調理される食材のようなものといえるでしょう．そこで今から力学で調理される食材，すなわち物体にはどのような種類があるのかを見てみましょう．

　じれったいので結論からいえば次のようなことです．

　いまほどの力学的物体としての３つの形態を、階層的な図で表せば図１.２のようになります．

図1.2　力学的物体の種類と階層

　つまり，質点は剛体の特別な場合であり，その剛体は連続体の特別な場合です．したがって，質点もまた連続体の特別な場合ということになります．

　ではどうしてこのようなうまい分類ができたのでしょうか．それは運動の分類と深く関わっているのです．

（２）運動

　運動には直線的な運動や回転などの形態があることは既にご存じの通りですが，しかしそもそも何を見て直線運動か回転運動かを判断するのでしょうか．つまり運動を表す量は何かということです．

　つまりその幾何学量とは次の通りです．

　したがって，上記の幾何学量の時間的変化として〈運動〉は理解されるのです．

（３）〈物体〉と〈運動〉つながり

　このように分類した〈幾何学量の種類〉に基づいて，〈物体の種類〉が決まってきます．すなわち下表のような関係です．表中の◎印はその物体をもっとも特徴づけている量を表しています．

1.1　物体の種類と運動

　質点
　剛体
連続体

位置の変化（直進運動）
　 ◎
　 ○
　 ○

姿勢の変化（回転運動）
　 ×
　 ◎
　 ○

　形の変化（変形）
　 ×
　 ×
　 ◎

　すなわち姿勢の変化は剛体特有の運動で，質点には考えられない運動です．また，連続体には位置の変化や姿勢の変化は当然認められるのですが，それよりも伸びたり縮んだり，あるいはずれたり反ったりという形状の変化の方が連続体の中心話題になるのです．

　もしある物体について「質点として考える」と断れば，それはすなわち姿勢の変化や形の変化は無視するという意味の表明となります．

■１－３　力学を構成するもう一つの基本概念〈力〉

　つぎに，運動の原因となる力について分析してみましょう．力によって物体は直線的に動いたり，曲線的に動いたりします．したがってその分類に当たっては，運動の状態と照らし合わせながら総合的に分析することが適切です．そしてその結果は次のようなものになります．

　直進運動の原因として〈力〉を、回転運動の原因として〈力のモーメント〉を考え力を分類します。ここで，「力」のうち，物体が回転運動するような作用を〈力のモーメント〉（後述）と呼んで力とは別個なものとして考えるます．〈力のモーメント〉といっても元を正せば直進運動を引き起こす力を離れてあるわけではありませんが，しかし，結果として起こる現象が直進運動となるものではないことから，別個に考えることにするのです．

　一方，直線運動や回転運動の原因として「力」が分類されていますが、変形の原因としての何かが与えられていないことに気づきます．しかし結局変形は，力と力のモーメントによって起きるのです．なぜなら，変形とは物体上におかれた座標系での物質粒子の直進・回転運動に他ならないからです．

■１－４　力学の概念図

　以上の分析をふまえて図１.１をさらに詳しく図式化し，力学の概念構造を明らかにすれば図１.３のようになります．

この図に到達して，ようやく「力学は物質の運動およびその運動をひきおこす力を研究するものである」というこのファン先生の説明（『連続体の力学入門』、Ｙ.Ｃ.ファン、培風館）もようやく納得できたような気がしますが，いかがでしょうか．

　さてここまで，力のモーメントについて詳しい説明はとばして話を進めてきましたが，改めて力のモーメントについて解説してみます．

■１－５　力のモーメント

　回転軸の中心に取り付けられた長さ L のレバーに垂直な力 F を加えて軸を回すことを考えます（右図参照）．このとき，軸を回転させようとする作用，すなわち力のモーメント M は次のように定義されます．

（力のモーメント）　＝（腕に直角な力）×（腕の長さ）

･･････････････････････････････････(1-1)

予告編　材料力学の位置づけ

　〈材料力学〉が扱う問題といえば，主に変形する固体（弾性体）の形状変化とそれに及ぼす静的な力との関係についてである．すなわち，材料力学において対象となる物体は連続体であり，運動状態はもっぱら速度0の運動，すなわち静止状態の変形を前提にしている．その変形も微小変形を想定していて大変形は考えていない．このような知識は構造物の強度を判定する場合に用いられる．

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熱力学物語偉大なる法則www.tool-tool.com

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第二話では〈熱力学〉における〈仕事〉について考えてきました．いよいよ熱力学の偉大なる法則の一つである〈熱力学の第一法則〉について考えていくことにしょう．

■３－１〈熱〉と〈仕事〉をつなぐ実験〈ジュールの実験〉

ジュール（Joule）は実験により〈熱量〉と〈仕事〉の関係を初めて求めています．後の正確な測定では1kcal＝4.1868kJと定められています．

図3.1　ジュールの実験

ジュールは図3.1に示されるような有名な実験を行っています．この実験の概要を以下に述べます．断熱壁に覆われた円筒容器にm[kg]の水を入れ，その中に回転できる羽根車が設置されています．この羽根車の軸に取り付けられたプーリ1に巻かれた糸の端はプーリ2を介して，質量M[kg]のおもりに結ばれています．このおもりがx[m]だけ落下したとしましょう．そのとき，糸はプーリ1を介して，羽根車を回します．この羽根車の回転によって水は撹拌され，摩擦熱が発生し，水温が上昇します．この温

度上昇Δt[℃]は容器内に挿入された温度計で測定されます．

このとき，おもりがなした〈仕事〉はMgx[J]，水が受け取った〈熱量〉はcmΔt＝ mΔt [kcal]であることから，1kcal＝Mgx/mΔt [J]の関係が得られます．ここに，cは水の比熱で，c＝1kcal/(kgK)で与えられます．この関係を熱の仕熱当量といい，1J＝ mΔt/Mgx [kcal]の関係を仕事の熱当量といいます．

以上のことを踏まえ，「〈仕事〉も〈熱〉もエネルギーの一形態であり，〈仕事〉から〈熱〉に，また逆に〈熱〉から〈仕事〉に相互に変換される．」なる法則が導かれています．これが〈熱力学の第一法則〉なのです．

■３－２〈エネルギー保存則〉

第一話で，ピストンとシリンダによって構成された〈境界面〉によって閉じこめられた混合気や燃焼ガス（物質）を熱力学では〈系〉と呼んでいることを説明しました．図3.2に示すように，系の外側を〈周囲〉と呼んでいます．境界面は固定面でも可動面でもかまいません．この境界面を通して物質の出入りがない場合の〈閉じた系〉と，物質の出入りがある場合の〈開いた系〉に関する具体例を第二話で説明しました．

この図に示すように，エネルギーE₁が〈系〉へ入り，エネルギーE₂が〈系〉から出ている場合，両者の差が系内部のエネルギーの増加分ΔUとなります．すなわち，この関係は次式で与えられます．

ΔU＝E₁－E₂(3.1)

この関係がエネルギー保存則です．ここで，Uは〈系〉の内部エネルギーと呼ばれ，〈系〉の物質分子一つ一つの直進運動，回転運動，振動等の運動エネルギーと位置

図3.2　エネルギー保存則の概念

エネルギーの総和で与えられます．

式(3.1)は，〈系〉の内部エネルギーが，〈周囲〉との間にエネルギー交換が無ければ，一定で変化せず，エネルギー交換があれば，出入りしたエネルギーの差だけ増えたり，減ったりすることを意味しています．

〈周囲〉との間でエネルギー交換があれば，〈系〉の温度とか圧力とかいった状態は変化します．〈系〉の状態が1から2に変化した場合，熱や仕事はエネルギーの加えられ方によって異なる値を取りますが，温度や圧力などの状態量は各状態だけで決まる値を取り，状態変化の経路とは無関係です．

その状態量には第二話で出てきたように，〈圧力〉，〈絶対温度〉および〈体積〉が代表格ですが，それ以外に〈内部エネルギー〉，〈エンタルピー〉，〈エントロピー〉などがあります．これらの内，〈圧力〉と〈絶対温度〉は系内の物質の質量とは無関係ですが，〈体積〉，〈内部エネルギー〉，〈エンタルピー〉，〈エントロピー〉はその質量に関係し，これらの変数はすべて大文字で表します．さらに質量に関係する状態量を，質量で割ったものをそれぞれ〈比体積〉，〈比内部エネルギー〉，〈比エンタルピー〉，〈比エントロピー〉と呼んでおり，こちらの方をは小文字で表します．

系がある状態1から次の状態2へ変化した場合,状態量の変化は各状態間の状態量の差で表すことができます.例えば圧力変化は次式のように表現できます．

₂

∫ dP = P₂－P₁ (3.2)

しかし,熱量や仕事量の変化は状態変化の経路に依存するために,以下のような表し方をしています．

₂

∫ dQ = Q₁₂

₂

∫ dL = L₁₂

このQ₁₂およびL₁₂がそれぞれ，状態変化の過程で系が外部から受けた全熱量および外部へなした全仕事量を示しています．既に，第二話で説明したように，L₁₂には絶対仕事Lと工業仕事L_tがあります．

■３－３　〈内部エネルギー〉

　ここで，図3.3に示されるように，気体がピストンとシリンダで構成される空間に閉じこめられている場合すなわち〈閉じた系〉を考えてみましょう．境界面はシリンダ内壁面とピストンの内面によって構成されます．しかし，ピストンが動けばシリンダ内壁面積は拡大もしくは縮小することになります．そこでこの移動する境界面（ピストン内面）を介してのエネルギーの出入りについて考えましょう．始めの状態1から終わりの状態2まで変化する間に，この系に周囲（外部）から加えられた熱量をQ₁₂，系がピストンを介して周囲になした仕事をLとします．この状態変化において，Q₁₂とLとの差Q₁₂－Lはエネルギー保存則より系の内部エネルギーの増加量U₂－U₁に等しくなります．すなわち，

U₂－U₁＝ Q₁₂－L

変形すると，

Q₁₂＝ U₂－U₁＋L　　［J］　　　　　　　 (3.3)

この式(3.3)が，閉じた系の熱力学の第一法則と呼ばれています．

この考え方を系の状態の微少変化に適用してみましょう．すると微小変化の間に系に加えられた熱量dQ，外部になした仕事dLおよび内部エネルギーの増加量dUの間に以下のような微分形の熱力学の第一法則が導かれます．

dQ ＝ dU ＋dL　　［J］　　　　　　　　　　 (3.4)

ここで，式(2.5)の関係，dL＝PdVが成り立つことより，式(3.4)は次式のよう

図3.3　閉じた系

に書き換えられ，熱力学の第一基礎式とも呼ばれています．

dQ ＝ dU ＋PdV　　［J］　　　　　　　　　　 (3.5)

系内の気体1kg当たりについて考えるときは以下のように質量で割る形になるので前述のように小文字で書きます．

dq ＝ du ＋Pdv　　［J/kg］ (3.6)

熱力学の第一法則においては，系に加えられる熱量を正，系から外に捨てられる熱量を負，また系から周囲になした仕事を正，周囲から系になされた仕事を負としています．

■３－４　〈エンタルピー〉

次に，図3.4のようにヘッド部に吸入弁Aと吐出弁Bを有するシリンダとピストンで構成されている開いた系について考えましょう．この系に流入する気体と系から流出する気体の運動エネルギーの差と位置エネルギーの差が無視できるほど小さく，各物性地が時間的に変化しないものとします．

図3.4　開いた系

まず，吐出弁Bが閉じ，吸入弁Aが開き，圧力P₁で体積V₁の気体が流入し，ピストンが始めの位置（x＝0）からx₁の位置まで移動したとします．このとき，系に流入したエネルギーは流体の保有する内部エネルギーU₁と圧力P₁でピストン（断面積A）をx₁の位置まで移動させるに必要な仕事P₁Ax₁＝P₁ V₁との和で与えられます．一方，この系から流出するエネルギーはピストンが外部（周囲）になす仕事はP₁Ax₁＝P₁ V₁となります．

0→x₁の過程で系に蓄積されるエネルギー＝U₁＋P₁ V₁－P₁ V₁

次に，吸入弁Aを閉じて，ピストンがx₂の位置まで移動したとすると，系内の気体の体積はV₁からV₂まで膨張したことになります．この過程でのエネルギーの出入りは，系に流入するエネルギーすなわち系に加えられる熱量Q₁₂だけで，系から流出するエネルギーは系がピストンを介して外部になす仕事Lの他にはありません．

x₁→x₂の過程で系に蓄積されるエネルギー＝Q₁₂－L

続いて，吐出弁Bが開いて，圧力P₂で体積V₂の気体が流出し，ピストンが元の位置まで戻ったとします．このとき，系に流入するエネルギーはピストンを介して外部からなされる仕事P₂Ax₂＝P₂ V₂だけになります．一方，系から流出するエネルギーは流体の保有する内部エネルギーU₂と圧力P₂で断面積Aのピストンをx₂移動させ，元の位置に戻すに必要な仕事P₂Ax₂＝P₂ V₂との和で与えられます．

x₂→0の過程で系から流出するエネルギー＝U₂＋P₂ V₂－P₂ V₂

時間的に変化しない状態（定常状態）において，流入するエネルギーの総和と流出するエネルギーの総和は等しくならなくてはならないことから，以下の関係が成り立ちます．

(U₁＋P₁V₁)＋Q₁₂＋P₂V₂＝P₁V₁＋L＋(U₂＋P₂V₂) ［J］　　(3.7)

式(3.7)中に流体の出入りに伴い（U＋PV）の項が現れるゆえ，以下の様に表現されます．

H＝U＋PV　　　［J］　　　　　　　　　　　　　　　 (3.8)

新しく定義される物理量Hを〈エンタルピー〉と称しています．エンタルピーは式(3.8)が示すように，流体の保有する内部エネルギーと圧力Pの流体が体積Vを占めるための力学的な仕事の和であり，開いた系における流体の持つ全エネルギーと考えることができます．

流体1kg当たりのエンタルピーを〈比エンタルピー〉と呼び，小文字のh（＝H/m）で表します．

h＝u＋Pv　　　［J/kg］　　　　　　　　　　　　　　 (3.9)

このエンタルピーを用いて式(3.7)は次式のように書き換えられます．

H₁＋Q₁₂＋P₂V₂＝P₁V₁＋L＋H₂ ［J］

さらに，以下のように書くことができます．

Q₁₂＝(H₂－H₁) －(P₂V₂－P₁V₁)＋L ［J］　　　　　　 (3.10)

ここで，式(2.10)より，L_t＝L－(P₂V₂－P₁V₁) であることから，以下のように書けます．

Q₁₂＝(H₂－H₁) －L_t ［J］　　　　　　　　 (3.11)

流体1kg当たりで表現すると次式のようになります．

q₁₂＝(h₂－h₁) －l_t ［J/kg］　　　　　　　　 (3.12)

ところで，系の微小変化を表す微分形では次式のように表現できます．

dQ＝dH－dL_t＝dH－VdP ［J］　　　　 (3.13)

dq＝dh－dl_t＝dh－vdP ［J/kg］　　　 (3.14)

これらの式は開いた系の熱力学の第一法則であり，熱力学の第二基礎式と呼ばれています．

ところで，等圧変化は熱力学の第二基礎式（式(3.5)）で次式のように表せます．

dQ＝dU＋PdV ［J］

これに対して，熱力学の第二基礎式（式(3. 13)）では次式のように書けます．

dQ＝dH ［J］　　　　 (3.15)

すなわち，等圧変化の場合はエンタルピーを用いて表せば式が簡単になります．

予告編　〈理想気体〉

第三話では〈熱〉と〈仕事〉の関係，〈エネルギー保存則〉，〈内部エネルギー〉および〈エンタルピー〉といった熱力学的な専門用語の定義をした上で，〈熱力学〉における重要な法則の一つである〈熱力学の第一法則〉について考えてきました．次回は〈理想気体〉の状態方程式，比熱および混合気体の性質等について考えて行きましょう．

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第一話では〈熱力学〉とは何かから出発し，〈温度〉と〈熱〉について考えてきました．第二話では〈熱力学〉における〈仕事〉について考えていくことにしょう．

■２－１　熱力学としての〈仕事〉とは

　熱力学では〈圧力〉によってなされる仕事がしばしば扱われます．この節では仕事について考える前に，〈圧力〉について理解を深めた上で，〈圧力〉が境界面を介して外部になす〈仕事〉について考えて行くことにしよう．

（１）圧　力

　図2.1はゴム風船が注入された空気によってふくらんでいるときの力関係を示した図です．風船内の空気には風船の外側からの大気の力と風船のゴムが縮もうとする力が掛かっています．風船内の空気はこの二つの力を足した力と同じ大きさで反

図2.1　風船の力関係

対向きの力を持っています．このとき風船の表面積をA [m²]，風船内の空気の持つ力をF [N]とした場合，単位面積あたりの力で表した方がより一般的な量として扱えます．これが〈圧力〉で，記号はP，単位は[N/m²] あるいは[Pa]すなわちパスカルで表されます．

したがって，〈圧力〉は次式で表されます．

P ＝ ―　　 [Pa] (2.1)

また，風船のモデルで分かるように〈圧力〉は風船内側の全ての壁に対して同じ

ように働きます．

（２）仕　事

一般に，加えられる力と同じ方向に物体が運動するとき，〈仕事〉W は力の大きさをF，物体の移動距離を s とすると，以下のような関係があります．

W＝F s [J] (2.2)

ここに，仕事の単位は[J]，ジュールを用い，1J＝1Nmです．

次に図2.2のような熱力学的仕事モデル，すなわち，ピストンとシリンダ内に気体が入っている系において，断面積A[m²]を持つピストンがs [m] 移動した場合について考えてみましょう．この場合ピストンが気体から受けている力Fは式(2.1) より，〈圧力〉Pとピストンの面積Aの積で与えられます．すなわち，

F＝PA [N] (2.3)

この式(2.3)を式(2.2)代入するとピストンに〈仕事〉W は次式のようになります．

W＝PA s＝PV [J] (2.4)

ここに，Vはピストンが移動したことによる体積変化量A sです．

以上で定義された，〈圧力〉P，〈絶対温度〉Tおよび〈体積〉Vの３つの物理量が決まるとそのときの気体の〈状態〉が決まります．これら３つの物理量は〈状態量〉と呼ばれています．

図2.2　熱力学的仕事モデル

■２－２　系が外部になす仕事〈絶対仕事〉の導入

　図2.3に示されるように，高圧の気体がピストンとシリンダで構成される空間に閉じこめられている場合(〈閉じた系〉)について考えてみましょう．この気体が〈状態〉

1（圧力P₁，体積V₁，絶対温度T₁）から〈状態〉2 （圧力P₂，体積V₂，絶対温

度T₂）に膨張したとき，ピストンが移動することによって外部へなす仕事を求もとめてみましょう．

図2.3　絶対仕事（閉じた系）

このピストンが位置xからx＋dxまで微小距離を移動したとします．この間の移動距離は微小なので圧力変化はないと考えられますから，このとき気体がピストンを介して外部になす〈仕事〉は，ピストンの断面積をA[m²]とすると，次式で与えられます．

PAdx [J]

ここで，Adxは微小体積変化dVと書き換えられます．

したがって，このとき外部に対してなした微小仕事を dLとすると，次式のように

なります．

dL＝PdV [J] (2.5)

したがって，閉じこめられた気体が状態1から状態2に状態変化したときに，外部に対してなした〈仕事〉は次式で与えられます．

_状態_{2 2}

L ＝∫　dL ＝∫ PdV ＝面積12V₂V₁1[J] (2.6)

^状態^{1 1}

この式で与えられる〈仕事〉が〈絶対仕事〉です．

　閉じこめられた気体の質量をm[kg]とすると，単位質量あたりの〈絶対仕事〉はl＝L/mで表されます．式(2.5)の微分形式に対しては，以下のように書き換えられます．

dl＝Pdv [J] (2.7)

ここに，vは次式で与えられる比体積で，密度ρ[kg/m³]の逆数です．

v＝V/m [m³/kg] (2.8)

式(2.7)を積分すると，次式のようになります．

_{2 2}

l ＝∫ dl ＝∫ Pdv [J/kg] (2.9)

^{1 1}

■２－3　系に外部からされる仕事〈工業仕事〉の導入

　次に，図2.4に示されるように，シリンダの端に吸入弁Aと排気弁Bが着いており，気体の流入，流出がある場合(〈開いた系〉)について考えてみましょう．初めピストンはシリンダの左端にあり，吸入弁Aと排気弁Bは閉じているとします．いま，

①吸入弁Aのみが開き，圧力P₁の気体が入り状態1まですなわち体積がV₁にな

るまでピストンを押します．次に，②吸入弁Aが閉じられ，気体が状態2すなわち圧力P₂で体積V₂までピストンが押されます．続いて，③排気弁Bが開かれ，圧力P₂の気体が全てシリンダの外に出て行くことによって，ピストンが初めの状態に戻されます．これら３つの過程において，気体がピストンを介して，外部に対してなす〈仕事〉を考えてみましょう．

① の過程においては，圧力P₁の気体は断面積Aのピストンを位置x₁まで押しますので，ピストンが気体から受けた〈仕事〉は次のようになります．

P₁Ax₁＝P₁V₁

② の過程においては，閉じこめられた気体は以下のような〈絶対仕事〉をします．

₂

∫ PdV

③ の過程においては，圧力P₂の気体はピストンをx₂から初めの位置まで戻しますので，ピストンが気体になした〈仕事〉は以下のようになります．

P₂Ax₂＝P₂V₂

図2.4　工業仕事（開いた系）

したがって，流入および流出する気体が外部になす〈仕事〉L_tは次式のようになります．

₂₂

L_t＝P₁V₁＋∫ PdV －P₂V₂＝－∫ VdP [J] (2.10)

¹¹

＝面積12P₂P₁1

この式で与えられる〈仕事〉が〈工業仕事〉です．微分表現は以下のようになります．

dL_t＝VdP [J] (2.11)

単位質量あたりでは次のように表せます．

dl_t＝vdP [J] (2.12)

予告編　偉大なる法則１～熱力学の第一法則

第二話では熱力学における仕事について考えてきました．次回は〈熱〉と〈仕事〉の関係，〈エネルギー保存則〉，〈内部エネルギー〉および〈エンタルピー〉といった熱力学的な専門用語の定義をした上で，〈熱力学〉における重要な法則の一つである〈熱力学の第一法則〉について考えて行くことにしよう．

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