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第一節 晶體和點陣的定義

1.1 晶體及其基本性質

晶體的定義

• 晶體是原子或者分子規則排列的固體；
• 晶體是微觀結構具有周期性和一定對稱性的固體；
• 晶體是可以抽象出點陣結構的固體;
• 在準晶出現以後，國際晶體學聯合會在 1992年将晶體的定義改爲：“晶體是能夠給出明銳衍射的固體。”

下 圖爲晶體的電子衍射花樣，其中圖a爲一般晶體的電子衍射花樣，而圖b則是一種具有沿[111]p方向具有六倍周期的有序鈣钛礦的電子衍射花樣，由這些衍射 花樣可以看出來，無論是無序還是有序晶體，其倒空間都具有平移周期對稱的特點（相應的正空間也應該具有平移對稱的特點）。事實上在準晶發現以前，平移周期 對稱被當作晶體在正空間中的一個本質的特點，晶體學中的點群和空間群就是以晶體的平移對稱爲基礎推導出來的。

晶體的分類

從成健角度來看，晶體可以分成：

• 離子晶體；
• 原子晶體；
• 分子晶體；
• 金屬晶體。

面角守衡定律：（由丹麥的斯丹諾于1669年提出）

在相同的熱力學條件下，同一物質的各晶體之間比較，相應晶面的大小、形狀和個數可以不同，但相應晶面間的夾角不變，一組特定的夾角構成這種物質所有晶體的共同特征。

下圖是自然界存在的具有規則外形的幾種常見的晶體，分别是方解石、螢石、食鹽和石英，它們的面角關系完全符合面角守衡定律。事實上，自然界中的晶體，當其形成條件比較接近平衡條件時，它們往往傾向于長成與其晶體對稱性相應的外形。

非晶體的定義

非晶體是指組成物質的分子（或原子、離子）不呈空間有規則周期性排列的固體。它沒有一定規則的外形，如玻璃、松香、石蠟等。它的物理性質在各個方向上是相同的，叫“各向同性”。它沒有固定的熔點。所以有人把非晶體叫做“過冷液體”或“流動性很小的液體”。

準晶的定義

準 晶是準周期晶體的簡稱，它是一種無平移周期性但有位置序的晶體；也有人将其定義爲具有非公度周期平移對稱的晶體。 準晶可以具有一般晶體禁止出現的五次、八次、十次和十二次旋轉對稱，但非公度周期平移對稱才是其本質特點。下圖中爲準晶的電子衍射花樣和三維準晶的外形， 其中圖a是二維Al-Ni-Co十次準晶的電子衍射花樣，圖b是三維準晶沿5次對稱軸得到的電子衍射花樣，圖c爲三維準晶的外形。從電子衍射花樣可以清楚 地看到準晶的非周期平移對稱特點。衍射花樣中，衍射斑點之間雖然不滿足平移對稱，但它們之間滿足數學上的菲博納奇數列。

晶體的基本性質

1）自範性或自限性

就熱力學可能性而言，任何晶态的物質總是傾向于以凸多面體的形式存在，晶體的這一性質稱爲自限性或自範性。

2）具有特定的熔點；

3）晶體的宏觀均勻性：均勻性是晶體中坐标原點的任何平移後性質的不變性；

4）晶體的各向異性：晶體的物理性質随方向不同而有所差異的特性，稱爲晶體的各向異性。

1.2 點陣的定義：

點陣是在空間任何方向上均爲周期排布的無限個全同點的集合。

與點陣有關的曆史

• 1830年，德國的Hessel總結出晶體多面體的32種對稱類型；

• 1849年，法國的布拉維确定了三維空間的14種空間點陣即14種Bravais格子；

• 1887年，俄國的加多林嚴格推導出32個晶體學點群；

• 1890~1891年，俄國的費道羅夫和德國的熊夫利斯先後獨立地推導出230個晶體學空間群，建立了晶體結構理論的基本框架。

第二節 晶體中的對稱元素與晶體學點群

1.1 晶體中的對稱元素

1）對稱軸

若形體繞軸轉過360°/n（n爲整數）後即回複爲自身，則該形體具有n次旋轉對稱，這個軸就稱之爲n次旋轉對稱軸。n次旋轉對稱本身構成一個群。在晶體中，由于受平移對稱的制約，隻能存在1，2，3，4，6次旋轉對稱操作。

2）反映面

若形體中的一個面将形體分成兩部分，且兩部分上的點相對于該平面成鏡面對稱，則該平面稱爲該形體的反映面，以符号m表示。反映也構成群。

3）反演中心

若形體中的所有點都相對于某一點中心對稱，則該點就是反演中心，用符号-1表示。

4）平移

在晶體中，沿某個周期方向平移一個或多個周期後，我們認爲晶體沒有發生改變，稱之爲平移對稱。

5）旋轉反演

旋轉和反演的複合操作構成一個不同于旋轉和反演的對稱群。

6）螺旋

旋轉與平行平移的組合。

7）滑移

反映與平行平移的組合。

1.2 晶體學點群：

将以上點對稱操作任意組合，能夠構成群的組合有32種，這就是晶體中能夠存在的點對稱操作組合，稱之爲晶體學點群。所以晶體中能夠存在的點群是32種。

旋轉點群：

中心對稱的點群：

非中心對稱的點群：

第三節 空間點陣

3.1 空間點陣的類型

在讨論點群的時候，講的是平移對點群對稱元素的制約；當晶體中的對稱元素确定以後，又會反過來制約平移群和點陣的類型！

無論晶體的點群是否具有中心對稱性，當從晶體中抽象出晶體的點陣以後，其空間點陣總是中心對稱的！

這是因爲晶體中的原子團可以不是中心對稱的，但是當将其抽象爲空間點陣點以後，陣點總是中心對稱的，再加上平移群也顯示中心對稱的特點，使得空間點陣一定是中心對稱的。

下表是32種點群按直積群的構成和中心對稱與否的分類表：

3.2 按點群的對稱性分類

因此按點群的對稱性來劃分空間點陣時，隻須要考慮11個中心對稱的點群；另外，這11個中心對稱的點群與平移群結合時，将會使其中的4個與另外4個具有完全相同的對稱元素；因此隻能劃分出七個晶系。分别是：

三斜；單斜；正交；四方；三角；六角；立方。（如上表和下表所示）

3.3 按點陣的對稱性分類

三維空間點陣有6個參數（a，b，c，α,β,γ），在每一組參數下，按照對稱性由低到高的順序，依次考慮點陣的各種點群對稱性，一旦不能容納某些點群時，則變動點陣參數。這樣可以得出七種不同的晶體類型，由此可以得到七大Bravais系，分别爲：

三斜；單斜；正交；四方；菱面體；六角；立方。（如下表所示）

七大晶系的分類

當 選用能充分反映點群對稱性的慣用晶胞時，可以得到14種bravais點陣，分别是簡單立方（cP)、體心立 方(cI)、面心立方(cF)、簡單四方(tP)、體心四方(tI）、簡單正交(oP)、體心正交(oI）、面心正交(oF)、側心正交(oA,oB或者 oC）、簡單單斜(mP)、側心單斜(mA,mB或者mC）、簡單三斜(aP)、簡單六方(hP)、菱面體六方(hR)。如下圖所示：

第四節 倒易點陣及其在晶體幾何中的應用

4.1 倒易點陣

倒易點陣的定義：

由倒易點陣基矢的定義，容易推出：

研究倒易點陣的意義：

利用倒易點陣可以比較方便地導出晶體幾何學中的各種重要關系式；

用倒易點陣可以方便而形象地表示晶體的衍射幾何學；

在物理學中可以用倒易點陣來表示波矢。

倒易點陣的特點：

同名的正倒空間基矢之間點乘等于1，異名的正倒空間基矢點乘的結果等于0；

倒易點陣的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上與正空間的同名晶面(hkl)垂直，在數值上爲正空間點陣中同名晶面(hkl)的面間距的倒數；可以用該倒易點代表與之對應的正空間的晶面；

隻有在立方點陣中，晶向才會平行與之同名的晶面的法向；

對于初基點陣來說，正空間屬于何種點陣，其相應的倒易點陣也會屬于相同的點陣類型；對于非初基點陣來說，底心點陣的倒易點陣仍然是底心點陣，體心點陣的倒易點陣是面心點陣，而面心點陣的倒易點陣則是體心點陣。

4.2 倒易點陣在晶體幾何中的應用

倒易點陣的一個重要性質：

倒易點陣的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上與正空間的同名晶面(hkl)垂直，在數值上爲正空間點陣中同名晶面(hkl)的面間距的倒數。

晶帶軸定律

設正空間中的某一矢量爲：ua+vb+wc；倒空間的任一矢量爲： ha*+kb*+lc*；則上面兩矢量的點乘爲：

當兩矢量互相垂直時，其點乘爲０，此時有：

給定一個正空間的晶向[uvw]，滿足上式的所有晶面(hikili)屬于同一個晶帶，其晶帶軸即爲[uvw]；這就是晶帶軸定律。

給定一個正空間的晶向[uvw]，對于任一給定的整數N，滿足上式的所有晶面(hikili)都在倒空間的同一層倒易面上；該倒易面上的任意矢量(hikili)與晶向[uvw]的點乘都等于整數N，這就是廣義晶帶軸定律。

倒易點陣的兩個重要應用

A、已知兩晶面(h1k1l1)、(h2k2l2)，要求這兩個晶面所屬的晶帶軸，隻須将與兩晶面對應的倒易矢量叉即可，所得的正空間矢量即爲兩晶面的晶帶軸。

這就是計算電子衍射花樣晶帶軸的基本公式

B、已知兩晶向[u1v1w1]， [u2v2w2]，求其構成的平面(hkl)，隻須将兩個正空間矢量叉乘即可；

度量張量

由倒易矢量的定義可以知道，倒空間中的三個基矢其實是正空間中與正空間基矢共原點的三個矢量，因此可以用空間變換将兩組基矢聯系起來，從而将正、倒空間的矢量計算結合起來。

G被稱爲正空間到倒空間變換的度量張量，它是晶體學計算中一個非常重要的參量。

通過度量張量可以将正倒空間的基矢聯系起來：

倒空間的度量張量

同樣可以引入倒空間的度量張量G*:

由前面正空間基矢與倒空間基矢之間關系式可以求出正倒空間之間度量張量之間的關系，同時也可以求出倒空間基矢用正空間基矢表示時的表達式。下面是推導過程：

正、倒空間基矢的計算

對于任意給定的已知晶體，其正空間的晶格常數應該是已知的，由前面推導出來的公式，我們同樣可以求出倒空間的晶格常數。

正空間的度量張量用基矢表示可以寫爲：

求其矩陣的逆矩陣可以得到：

倒空間的度量張量的表達式爲：

因爲倒空間的度量張量與正空間的逆矩陣是相等的，所以上面兩個表達式中每一項都應該是對應相等産的。據此可以馬上得到倒空間的晶格常數用正空間晶格常數來表示的表達式：

在晶體學計算時，經常要用到正空間和倒空間的度量張量，下面是六大晶系度量張量的表達式（三斜晶系在前面已經給出）

由上面這些矩陣，用類似于求三斜晶系倒空間晶格常數的辦法，可以求出其它所有晶系的晶格常數的表達式，下表即是各大晶系倒易點陣單胞的基本參數表：

由上表我們可以得出一個非常重要的結論：

對于同一種晶體，其正空間是屬于何種晶系，那麽其倒空間同樣也是屬于該種晶系。

利用度量張量的概念，可以非常方便地求出晶體中的晶面間距、晶面之間的夾角、晶向長度和晶向之間的夾角。

各晶系的晶面間距、晶面之間的夾角、晶向長度和晶向之間的夾角如下表所示：

引用出處：

http://bphk.5d6d.com/thread-762-1-1.html

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