如圖，一束波λ照射空間任意兩陣點A、B， 則産生散射，在空間某方向總有幹涉加強的波程差：δ=nλ (n=0，1，2，……) 相差： φ=n2π
波陣面： 若δ=AM-BM=nλ 或 φ=
幹涉加強
若δ=（2n+1）λ 或 φ=（2n+1）π 削弱爲0, 幹涉加強——即衍射.
第一節布拉格方程
在推導布拉格方程之前，把晶體看作由許多平行的原子面堆積而成，衍射線看作是原子面對入射線的反射，即X-ray照射到的原子面中所有原子的散射波在原子面反射方向上的相位是相同的，是幹涉加強的方向。假定在參與散射的晶體中：
①晶面完整、平直
②入射線平行，且爲單色X-ray（波長一定）
1.1布拉格定律的推證
如前所述，當X射線照射到晶體上時，各原子周圍的電子将産生相幹散射和非相幹散射，相幹散射線會産生幹涉，在相鄰散射波波程差爲波長整數倍的方向上，将出現X-ray衍射線。
圖2-1 布拉格反射
1.1.1 一層原子面上散射X-ray的幹涉
如圖2-1，X-ray以θ角入射到原子面A并以β角散射時，相距爲a的任意兩原子P、K的散射X射線的光程差爲：
δ=QK-PR=a(cosθ-cosβ) (1)
當δ=nλ時，在β方向幹涉加強
假定原子面上所有原子的散射線同位相，即δ=0，則a(cosθ-cosβ)=0，θ=β
即當入射線與散射角相等時，一層原子面上所有散射波幹涉加強。與可見光的反向定律相類似，X-ray從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線幹涉加強的方向：即一層原子面對X-ray的衍射在形式上可看成原子面對入射線的反射。
1.1.2 相鄰原子面的散射波的幹涉
因X-ray具有強的穿透力，晶體的散射線來自若幹層原子面，除同一層原子面的散射線互相
幹涉外，各原子面的散射線之間還要互相幹涉。
如圖示-1，一束波長λ的X-ray，射到面間距爲d的A，B晶面上，當滿足2dsinθ=nλ時，産生衍射。
1-1`和2-2`的波程差：δ=ML+LN=2dsinθ
若 δ=nλ 則相鄰原子面散射波幹涉加強——産生衍射
即 2dsinθ=nλ（n=0,1,2,3, …) 此即布拉格方程
方程中：d ——晶面間距； θ ——掠射角或布拉格角（半衍射角）
λ——入射線波長 2θ——衍射角；
n ——爲整數，稱反射級數
1.2布拉格方程的讨論
1.2.1 選擇反射
X-ray在晶體中的衍射，實質上是晶體中各原子相幹散射波之間互相幹涉的結果。一束可見光以任意角度投射到鏡面上時都可以産生反射，不受條件限制。
X-ray從原子面的反射是有選擇地，其選擇條件爲布拉格方程
1.2.2 産生衍射的限制條件
由2dsinθ=nλ ， 因sinθ≤1
考慮n=1（即1級反射）的情況，有 ——即能産生衍射的限制條件
它說明：波長λ的 X-ray 照射晶體時，隻有面間距
的晶面才能産生衍射。
1.2.3 幹涉面和幹涉指數
在上述布拉格方程中，對一定的d、λ，當n不同時，θ不同， 所以不能求出d
由此引入實用布拉格方程。
2dhklsinθ=nλ 令，H=nh, K=nk, L=nl
得 2dHKLsinθ=λ
這樣，由（hkl）晶面的n級反射，可以看成由面間距爲的（HKL）晶面的1級反射，且（hkl）∥（HKL）
面間距爲dHKL的晶面不一定是晶體中的原子面，而是爲了簡化布拉格公式而引入的反射面——稱爲幹涉面。
（HKL）——稱幹涉指數。可能有公約數n的晶面指數——廣義晶面指數。
有 2dsinθ=λ ——實用布拉格方程
即：H=nh K=nk L=nl
1.2.4 衍射線方向與晶體結構的關系
由2dsinθ=λ 有波長λ一定時，則θ是d的函數
将上述立方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，平方，得：
第二節衍射矢量方程
圖2-2 衍射矢量平行于反射晶面法線
設入射角θ，滿足布拉格方程，P爲原子面（HKL），N爲法線，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射線方向用單位矢量S表示，則S-S0稱衍射矢量
︱S0︱=︱S︱=1 ——即S0、S爲單位矢量
則△ABC爲等腰矢量△，BC⊥AD
有 ——衍射矢量方程
第三節厄瓦爾德（Ewald）作圖
3.1原理
衍射矢量方程可以用等腰矢量三角形表達，它表明入射線方向、衍射線方向和倒易矢量之間的幾何關系。這種關系說明：要使（HKL）晶面發生反射，入射線必須沿一定方向入射，以保證反射線方向的矢量端點恰好落在倒易矢量的端點上，即的端點應落在HKL倒易點上。
由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，因此當入射線沿一定方位入射時，可能同時有若幹束衍射線發生，則可用厄瓦爾德圖解法求衍射線束的方向。
設有n族面符合反射條件，則可作n個衍射矢量三角形，該三有形以C爲頂點，爲一公共邊，各自的倒易陣點至C≡，它們構成一個球面，稱厄瓦爾德球或反射球。
3.2
作圖
-
- 作晶體的倒易點陣，O*爲倒易原點。
- 入射線沿OO*方向入射，且令
- 以O爲球心，以爲半徑畫一個球——稱反射球。
若球面與倒易點P相交，連OP1則有
因OO*=OP1=，故△OO*P爲與衍射矢量方程圖解等效的等腰矢量三角形，OP1是一衍射線方向。
同理，P2是落在反射球面上的另一倒易點，OP2是另一衍射線方向。
由此可見，當X-ray沿OO*方向入射，所有能發生反射的晶面，其倒易點都應落在以O爲球心，以1/λ爲半徑的球面上，即在球面上的倒易陣點可以反射，不在球面上的倒易陣點一定不可反射，從球心O指向倒易點的方向是相應晶面反射線的方向。
以上求衍射線方向的作圖法稱厄瓦爾德圖解。
第四節勞埃方程組由衍射矢量方程：
勞埃方程組由衍射矢量方程推出，也表明了特定平面組能否反射的必要條件——即在晶體中如果有衍射現象發生，則上述三個方程必須同時滿足，即三個方向的衍射圓錐面必須同時交于一直線，該直線的方向即爲衍射線束的方向。
勞埃方程組典定了X-ray衍射的理論基礎。
第一節 一個電子對X射線的散射
求P點處電子相幹散射波強度Ie，如圖，
電磁波的電場強度E0⊥傳播方向。
由經典電動力學理論知，電子在P點處散射波的電場強度（振幅）爲：
在電磁波的電場作用下，P點處散射強度：
上式稱湯姆遜公式
第二節一個原子的散射
一束X射線照射一個原子，使原子中所有電子和原子核産生受迫振動，因原子核質量遠遠大于電子質量，因此原子核振動不可察覺，忽略不計。所以原子散射指原子系統中所有電子對X-ray的散射。
一般所用X-ray波長與原子直徑同一數量級，因此不能認爲所有電子集中在一點，它們的散射波之間存在一位相差，如圖：
假定：原子内包含Z個電子，在空間瞬時分布情況用矢量表示。
整個原子散射波振幅的瞬時值爲：
第三節 一個晶胞的散射
3.1結構因子公式的推導
如圖：A爲晶胞内任一原子核j，坐标矢量
O爲晶胞角頂原子，取爲坐标原點
則：兩原子散射波程差
相位差
當滿足幹涉條件時： ——衍射矢量方程
若晶胞内n個原子，原子散射因子分别爲f1、f2、…fj、…fn；
各原子散射波與入射波的位相差φ1、φ2、…φj…φn；
則n個原子散射的合成振幅也即晶胞的散射振幅。
某個晶面的結構因子爲零，則衍射強度爲零
3.2結構因子與系統消光
複雜點陣或複雜結構基元，會造成某些（HKL）面産生消光，即F=0 I=0
雖然這些方向仍滿足衍射條件，但由于I=0而觀察不以衍射線
∴産生衍射的充分必要條件：布拉格方程和FHKL≠0
由于FHKL＝0而使衍射線消失的現象稱爲系統消光，
它分爲：點陣消光 結構消光
3.2.1 簡單點陣的系統消光
在簡單點陣中，每個陣胞中隻包含一個原子，其坐标爲000，原子散射因子爲fa
根據(4-12)式得：
在簡單點陣的情況下，FHKL不受HKL的影響，即HKL爲任意整數時，都能産生衍射
3.2.2 底心點陣的系統消光
每個晶胞中有2個同類原子，其坐标分别爲000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都爲fa
當H+K爲偶數時，即H，K全爲奇數或全爲偶數：
當H+K爲奇數時，即H、K中有一個奇數和一個偶數：
即在底心點陣中，FHKL不受L的影響，隻有當H、K全爲奇數或全爲偶數時才能産生衍射
3.2.3 體心點陣的系統消光
每個晶胞中有2個同類原子，其坐标爲000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
當H+K+L爲偶數時， FHKL＝2
當H+K+L爲奇數時，
在體心點陣中，隻有當H+K+L爲偶數時才能産生衍射
3.2.4 面心點陣
每個晶胞中有4個同類原子，其坐标爲：000，1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2。其原子散射因子爲
1．當H、K、L全爲奇數或偶數時，則（H+K）、（H+K）、（K+L）均爲偶數，這時：
FHKL=4fa
當H、K、L中有2個奇數一個偶數或2個偶數1個奇數時，則（H+K）、（H+L）、（K+L）中總有兩項爲奇數一項爲偶數，此時：
在面心立方中，隻有當H、K、L全爲奇數或全爲偶數時才能産生衍射。
四種基本點陣的系統消光規律
布拉菲點陣
出現的反射
消失的反射
簡單點陣
全部
無
底心點陣
H、K全爲奇數或全爲偶數
H、K奇偶混雜
體心點陣
H+K+L爲偶數
H+K+L爲奇數
面心點陣
H、K、L全爲奇數或全爲偶數
H、K、L奇偶混雜
從結構因子的表達式可以看出，點陣常數并沒有參與結構因子的計算公式。這說明結構因子隻與原子品種和在晶胞中位置有關，而不受晶胞形狀和大小影響。由此可見，系統消光規律的适用性是較廣泛的。
第四節 一個小晶體對X射線的散射
實際晶體和實際測量條件必存在下列兩種情況：
（1）實際晶體是不完整的，它由許多方位相差很小（小于1°）的亞晶塊所組成
（2）入射線束有一定的發散度。
所以在處理衍射線強度時，需給出更切合實際的晶體結構模型，即晶體的嵌鑲塊結構。
- 鑲嵌結構模型認爲，晶體是由許多小的嵌鑲塊組成的，每個塊大約10-4cm，它們之間的取向角差一般爲1~30分。每個塊内晶體是完整的，塊間界造成晶體點陣的不連續性。（HKL）非平直，不同部位的方位不同，間距也不同。
- 在入射線照射的體積中可能包含多個嵌鑲塊。因此，不可能有貫穿整個晶體的完整晶面
- X射線的相幹作用隻能在嵌鑲塊内進行，嵌鑲塊之間沒有嚴格的相位關系，不可能發生幹涉作用
- 整個晶體的反射強度是各個晶塊的衍射強度的機械疊加
晶胞的坐标矢量：
如圖4-8，引入倒空間流動坐标ξ、η、ζ ：
倒易點陣中的流動矢量
φj=φξηζ=2π(mξ+nη+pζ)
m、 n 、 p ——晶胞坐标，爲整數
ξ、η、ζ——倒易點陣的流動坐标，可爲任意連續變量
一個小晶體的散射強度：IM=F2︱G︱2Ie ︱G︱2——稱幹涉函數
且
對于一個非理想完整小晶體中的每個晶面，在其相應的倒易點附近，均存在一個幹涉函數不爲零的區域，該區域即爲擴大了的倒易點在倒空間中占據的範圍——即每個主峰是倒易空間中的一個選擇反射區（或稱衍射疇），其有值範圍：
一個小晶體的積分強度：I積=
第五節 粉末多晶體衍射的積分強度
考慮多重因子及溫度，試樣本身對X射線的吸收的影響
粉末多晶體衍射的積分強度爲：
在實際工作中主要是比較衍射強度的相對變化，所以常使用衍射線的相對積分強度公式：
布拉格方程典定了晶體結構的基礎。
引用出處：
http://bphk.5d6d.com/thread-762-1-1.html
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